Die allgemeine und die specielle lineare homogene Gruppe. 497 



homogenen Transformation der Anfangspunkt und die unendlich 

 ferne Ebene in Ruhe, d. h. parallele Geraden und Ebenen gehen in 

 ebensolche über. Auch geht jeder Strahl durch wieder in einen 

 solchen über. 



Für unsere Untersuchungen ist die Frage nach den bei einer in- 

 finitesimalen linearen homogenen Transformation 



Xf= {a,^X^ + «12^2 + «18^3)ä + («21^1 + «22^2 + «28^3)^ + 

 + («81^1 + «32^2 + a33^3)i'3 



invarianten Strahlen und Ebenen, die durch den Anfangspunkt gehen, 

 ganz besonders wichtig. Es ist aber zweckmässig, zunächst die Frage 

 nach allen invarianten Ebenen und PunJcten überhaupt zu behandeln. 



Fragen wir uns also zunächst, wann ein PunJct (x,, x., Xo) Jg^ Invarianz 



, , , ' \ 17 ^7 äy eines 



der infinitesimalen linearen homogenen Transformation Xf invariant P'^^i^te»- 

 bleibt. Dazu ist notwendig und hinreichend, dass gleichzeitig 



«11^1 + «12^2 + «13^3 = 0, 

 *'21^1 "r 0^22^2 ~r '^23% ^^^ ^} 

 ^31^1 ~r ''^32^2 "T ^33^3 = 



sei. Diese Gleichungen lassen sich durch ein nicht verschwindendes 

 Wertsystem nur dann befriedigen, wenn ihre Determinante | a^ | Null 

 ist. Ist dies der Fall, so existiert sicher mindestens ein invarianter 

 Punkt (Xj^, x^^, x^^) ausser dem Anfangspunkt. Da dann auch 

 Q^iy Q^2% Qoc^^ die drei Gleichungen bei beliebigem q erfüllen, so er- 

 hellt, dass, wenn ausser dem Anfangspunkt ein invarianter Punkt 

 vorhanden ist, auch alle Punkte des Strahles von nach diesem 

 Punkte bei der vorgelegten infinitesimalen linearen homogenen Trans- 

 formation in Ruhe bleiben. 



Wenden wir uns zweitens zur Betrachtung aller bei Xf invarian- Invarianz 

 ten Ebenen. Eine im Endlichen gelegene Ebene Ebene. 



(12) i^x^ J^ k^^x^ -\- k^x^ + l^ = 



bleibt bei Xf nur dann in Ruhe, wenn 



3 



(13) ^^i(cCaXi + «,2^2 + CCi3Xs) = 



1 

 ist vermöge (12). Wenn A^ nicht Null ist, d. h. die Ebene nicht 

 durch den Anfangspunkt geht, so muss also die letzte Relation an 

 sich identisch bestehen, d. h. es muss einzeln 



8 3 3 



(14) ^acaa=0, VA,a,2 = 0, ^A,a,3 = 



1 1 1 



Lie, Continuiorliche Gruppen, 32 



