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498 Kapitel 19, § 1. 



sein. Diese drei Gleichungen lassen sich durch nicht sämtlich ver- 

 schwindende X^, ^2, Ag nur dann erfüllen, wenn die Determinante ]a,i| 

 Null ist. Es ist dieselbe Determinante, die oben auftrat. Nur dann 

 also, wenn ausser dem Anfangspunkt noch ein invarianter Punkt im 

 Endlichen vorhanden ist, giebt es auch eine nicht durch den Anfangs- 

 punkt gehende im Endlichen gelegene invariante Ebene. Ja, alsdann 

 existiert auch eine ganze Schar von invarianten Ebenen. Es ist näm- 

 lich jede zur vorgelegten Ebene parallele Ebene invariant, da die 

 Forderungen (14) nur die Verhältnisse von A^, Ag, Ag geben. 



Besonders wichtig ist für uns, wie schon hervorgehoben, die Frage 



^''Ifner*^^ nach allen hei Xf invarianten Ebenen, die durch den Anfangspunkt 



du?crden gehen. Für eine Ebene (12) durch 0, für die also Xq = ist, ist (13) 



Anfangipkt.jjyj. (Jauu ciuc Folge von (12), wenn es eine Grösse q derart giebt, dass 



also einzeln 



(15) ^ XiUiT, = Q^k (k = 1, 2, 3) 



wird. Diese drei Gleichungen für A^, Ag, Ag lassen sich nur dann 

 durch nicht sämtlich verschwindende Werte von A^, Ag, A3 befriedigen, 

 wenn ihre Determinante 



(16) «12 «22 — (> «32 =0 

 «13 «23 «33 Q 



ist. Q ist daher als Wurzel dieser Gleichung zu wählen, die sicher ge- 

 rade cubisch ist, da q^ den nicht verschwindenden Factor — 1 hat. Im 

 allgemeinen wird es demnach gerade drei bei Xf invariante Ebenen 

 durch den Anfangspunkt geben. Im Besonderen können nur zwei 

 oder nur eine, andererseits aber auch unendlich viele invariante Ebenen 

 durch vorhanden sein. Es ergeben sich hier, wenn man die Be- 

 trachtung genauer durchführt, ebensoviele Fälle wie in der Ebene bei 

 der Aufsuchung aller bei einer infinitesimalen projectiven Transforma- 

 tion invarianten Punkte *oder Geraden. (Vgl. § 1 und § 3 des 3. Kap.) 

 Wir wollen hierauf jedoch nicht weiter eingehen, da wir derselben 

 Fragestellung weiter unten in anderer Fassung begegnen werden. 



Invarianz 



sfrrhi'es ^^^ wenden uns schliesslich zur Betrachtung der durch den An- 



/^""jj^ggp^jft/flfW^spwwÄ;^ gehenden, hei Xf invarianten Strahlen. Wir bemerken so- 



invarianz fort, dass sich die Frage nach den durch gehenden invarianten 



uneiTdiicii Strahlen mit der Frage nach den unendlich fernen invarianten Funkten 



Punkte, deckt. Es folgt dies unmittelbar daraus, dass bei einer linearen homo- 



