Die allgemeine und die specielle lineare homogene Gruppe. 499 



genen Transformation sowohl der Anfangspunkt als auch die unend- 

 lich ferne Ebene in Ruhe bleiben. 



Wir können dieser Sachlage dadurch einen präcisen analytischen 

 Ausdruck geben, dass wir bemerken, dass sich die Grössen x^, x.^, x^^ 

 die ja zunächst Cartesische Punktcoordinaten im Räume sind, als 

 homogene Coordinaten eines durch den AnfangsimnM gehenden Strahles ^-i^ ^^^ ^^ 

 — dessen Punkte die Coordinaten gx,, ox... ox« haben — und gleich- coord. doi 



'< 1> V 2} V 3 & Strahleu u 



zeitig als homogene Coordinaten eines unendlich fernen Punktes auf- der unendi 



. , fernen 



fassen lassen. Punkte. 



Unter Strahl wollen wir von jetzt ab in diesem Paragraphen nur 

 einen Strahl durch den Anfangspunkt, also einen Radiusvector ver- 

 stehen. -jT 



Die Frage nach den invarianten Strahlen bez. den invarianten un- 

 endlich fernen Punkten deckt sich mit der Frage nach allen Punkten 

 (Xi, x^, %), die bei Xf längs ihres Strahles verschoben werden, die 

 also den Gleichungen 



dx^ Sx^ SXs 



x^ x^ ajj 



oder den äquivalenten Gleichungen: 



öx^ == QX^St, 8x^ = QX^dt, dx^ ==' QX^Öt, 



mithin den Gleichungen: 



"^ai*^! ~r ^22-^2 "1 ^2S'^3 "^^ ('•''2; 

 *^31^1 1 ^82 "^2 "T ^33^3 ^^^ Q^3 



genügen. Diese Gleichungen besitzen nur dann nicht sämtlich ver- 

 schwindende Lösungen x^, x^, x^, wenn ihre Determinante: 



hl — 9 «12 «13 i 



«81 «22 — ^ «33 1 = 



hl «32 «33 — P i 



ist. Q muss daher wieder die schon oben besprochene cubische Glei- 

 chung (16) erfüllen : 



Es hat sich also ergeben: 



Satz 6 : Ist die infinitesimale lineare homogene Transformation 



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im Räume mit den gewöhnlichen Punktcoordinaten x^, x^, x^ vorgelegt, 

 so findet man alle hei ihr invarianteu Strahlen durch den Änfangspunlt 



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