500 Kapitel 19, § 1. 



«wdm man iCj^, iCa", ajg*^ (^en Gleichungen unterwirft: 



^aikXk^ = (»a;,'^ (* = 1, 2, 3), 



a?Ze hei ihr invarianten Ebenen 



tZw»"c/t <?ew Anfangspunkt j indem man A^, A2, A3 <?eJ^ Gleichungen unter- 

 wirft : 



^ccijcXi = qXjc {k = 1, 2, 3), 



JBei<?e ilifafe Äa^ man q als Wurzel der cubischen Gleichung 



«11 — Q 0^21 «^31 



"^12 ^^22 (* ^32 



ßjg «23 *^33 (• 



;srw wählen. 



Eine lineare homogene Transformation 



(17) x( = anXi + ai2r^2 + ctisXs (i = 1; 2, 3) 



führt a^i, iKg, 3:3 in neue Werte x^, x^', x^ über. Da für die Strahlen 

 nur die Verhältnisse der Coordinaten in betracht kommen, diese Ver- 

 hältnisse x'i : Xk aber homogen von nullter Ordnung in den Coefficien- 

 ten a sind, so folgt, dass zwei Transformationen (17) die Strahlen in 

 derselben Weise unter einander vertauschen, wenn die Coefficienten 

 der einen denen der andern proportional sind. Für die Transforma- 

 tionen des Strahlenbündels kommen also auch nur die Verhältnisse 

 der aik in (17) in betracht. Da die Determinante der aik nicht Null 

 ist, so können wir in (17) statt der «,* ihnen proportionale Constanten 

 setzen, sodass die Determinante dieser gerade gleich 1 wird, ohne dass 

 dadurch die Transformation der Strahlen geändert wird. Alsdann aber 

 kommen wir zu einer speciellen linearen homogenen Transformation. 

 Es giebt also stets eine specielle lineare homogene Transformation, 

 welche die Strahlen genau so unter einander vertauscht, wie eine be- 

 liebige allgemeine lineare homogene Transformation. 



Wir können als nicht - homogene Coordinaten der 00^ Strahlen 

 etwa die beiden Verhältnisse 



