Die allgemeine und die specielle lineare homogene Gruppe. 501 



verwerten. Es sind x, y die Tangenten gewisser Winkel, die der 

 Strahl im Coordinatensystem bestimmt. Bei Benutzung dieser nicht- 

 homogenen Bestimmungsstücke stellt sich die Transformation (17) der 

 Strahlen so dar: 



«11^; + «1*2/ + Ois , Oj, aj + a22 y + a,3 



^ «81^ + 03j2/ + «33 ' «31^ + «32 2/+ «33 



Die Coordinaten o;, y werden folglich allgemein projectiv transformiert. ^^^oJ:^Tr^f^ 

 (Siehe Kap, 1, 2.) Wir können mithin sagen: 



Satz 7: übt man auf die Punkte (x^^, x^, x^) des Raumes die all- 

 gemeine lineare homogene Gruppe in x^, x.^, Xq aus, so werden die Strahlen 



ix^ — , y ^ -^) durch den festen Anfangspunkt vermöge der allge- 

 meinen projectiven Gruppe der zweifach ausgedehnten Mannigfaltigkeit 

 (x, y) unter einander transformiert. 



Jeder allgemeinen linearen homogenen Transformation (17) ent- 

 spricht eine bestimmte projective Transformation (17'). Auch wissen 

 wir, dass allen oo^ Transformationen (17), in denen die a^. dieselben 

 Verhältnisse besitzen, ein und dieselbe Transformation (17') zugeordnet 

 ist. Da nun (17') bekanntlich (nach § 1 des 2. Kap.) gerade <x>^ ver- 

 schiedene Transformationen darstellt, so folgt, dass auch umgekehrt 

 jeder Transformation (17') gerade oo^ Transformationen (17) ent- 

 sprechen. Insbesondere ist unter diesen oo^ Transformationen (17), 

 wie wir oben sahen, stets mindestens eine enthalten, die der speciellen 

 linearen homogenen Gruppe angehört. Man sieht ohne Mühe ein, dass 

 es gerade drei sind, doch ist dies nicht von Belang für unsere Zwecke. 



Wegen dieses geometrischen Zusammenhanges zwischen den 

 linearen homogenen Transformationen in drei und den projectiven 

 Transformationen in zwei Veränderlichen lässt sich die Zuordnung 

 zwischen beiden in folgender Weise rein analytisch schärfer formu- 

 lieren : 



Satz 8: Man kann die oo^ Transformationen Ta der allgemeinen 

 linearen homogenen Gruppe in drei Veränderlichen den oo^ Transforma- 

 tionen Ta der allgemeinen projectiven Gruppe in zwei Veränderlichen so 

 zuordnen, dass je oo^ Transformationen Ta dieselbe Transformation T« 

 und umgekehrt jeder Transformation T« oo^ Transformationen Ta ent- 

 sprechen. Ist 



TaT, = T, 



und sind T«, Tö, T« den Transformationen Ta, T^, Tc zugeordnet, so 

 ist auch 



TaTi = Tc. 



Insbesondere kann man die oo^ Transformationen Ta der speciellen 



