Die allgemeine und die specielle lineare homogene Gruppe. 503 



linearen homogenen Gruppe zugeordnet werden soll, so tritt keine 

 willkürliche Constante A auf. Denn wenn Xf der speciellen Gruppe 

 angehört, so ist dies mit Xf -{- k{xj^p^ + x^j^^ + x^p^) nicht mehr der 

 Fall, da Xf nur dann in der speciellen Gruppe enthalten ist, wenn 

 nach (6) 



«n + «82 + «33 = ö 



ist. 



füi 



Wir wollen für die Zuordnung der speciellen linearen homogenen Tafe^in 

 Gruppe in x^, x^, x^ zur allgemeinen projectiven Gruppe in x, y eine Gebrauch 

 für den Gebrauch bequeme Tafel aufstellen, indem wir Xf va. einer 

 der 8 besonderen Formen wählen: 



XkPi {k 4= *■) , x^p^ — ajg pg , x^p^ — x^ i?3 . 



Z. B. für Xf^x^Pi sind alle aa gleich Null mit Ausnahme von a^^, 

 sodass Uf ^ yp wird. 



Wird durch das Zeichen ^ die Zuordnung ausgedrückt, so kommen 

 wir zu der Tafel: 



XsPi = p, %i>2 = (h x.^Pi = yp, x^ p^ = xq, 



XiPi — XsPs = 2xp + yg, x^p^ — x^p^ = xp-]r 2yq, 

 XiPi = — x{xp-{-yq), X2P3~ — y{xp + yq). 



Hiernach ist z. B. der infinitesimalen speciellen linearen homogenen 

 Transformation 



{Xi + Xi)pi + {Xi — x,)ps 



die projective 



(1 + 2ä; — x^)p + iy — xy)q 



zugeordnet. Werden vermöge der ersteren die Punkte {Xi, x^, x^) des 

 Raumes transformiert, so werden die Strahlen (« = |^, 2/ — ^*") ^^^^^ 



vermöge der letzteren unter einander vertauscht. 



Um die Tafel auch umgekehrt gebrauchen zu können, schreiben 

 wir sie so: 



p = x,Pi, q = XsP^, yp = x^p^, xq=iX^Pz, 



Zxp = 2xiPi— X2P2 — X3P3, ^yq = 2X2P2 — x^pj^ — x^ps, 

 x{xp + yq) = — XiPs, y(xp + yq) = — x^p^ 



Hiernach ist der allgemeinen infinitesimalen projectiven Transformation 

 Uf=ap^lq-\-cxp-{-dyp-\-exq-\-gyq-\-hx{xp-]rycL)^-'ky{xp-\-yq) 



