504 Kapitel 19, §§ l, 2. 



in der That die infinitesimale specielle lineare homogene Transforma- 

 tion zugeordnet: 



Xf= {dx^ + ax^)p^ + {ex^ + l)x^)p^ — (hx, + JiX2)Ps + 

 + '-^ iP^xPi - x,p,) + f {x,p, - x,p,) + I (x,p, - x,p,). 



§ 2. Die lineare homogene Gruppe in x^, x^, x^ als allgemeine 

 projective Gruppe der Ebene. 



'h^mo'^g, Wir haben schon oben bemerkt, dass wir die Veränderlichen 



uebig^r ^1» ^2» ^3> ^ie wir bisher als Coordinaten eines Punktes im Räume 



^bene. deuteten, auch als homogene Coordinaten des Punktes in der unendlich 



fernen Ebene auffassen können, in dem der Strahl durch jenen ersteren 



Punkt diese Ebene trifft. 



Wir wollen von jetzt ab allgemeiner x^, x^, x^ als homogene Coor- 

 dinaten in einer beliebig gegebenen Ebene auffassen: Unter x, y ver- 

 stehen wir gewöhnliche Cartesische Punktcoordinaten in der Ebene 

 und setzen 



^ x^ a;, 



X = — , V ^ — • 



Alsdann dürfen wir x^, x^, x^ als homogene Coordinaten des Punktes 

 {x, y) der Ebene betrachten. 

 nSm^ Ei"e allgemeine lineare homogene Transformation in den Ver- 

 änderlichen x^, X2, x^: 



(17) a;/= «,1^1 + ai2X2 + ai^x^ {% = 1, 2, 3) 



giebt, wenn wir dementsprechend 



aJa' J ajg' '^ — <' -^ ~ x^ 



setzen, die Transformation in x^ y: 



(17') ^'=-?^i^-±^i8_^+J!i3. /_ aj^x - ^ a^^y ^ a^^ 



«si^J + a^^y -f »33 ' ^ «3, X 4- «3,2/ + «33 » 



'j. Trf. also eine allgemeine projective Transformation in der Ebene {x, y). 

 Umgekehrt leuchtet ein, dass jede projective Transformation (17') der 

 {xyyWoQne mit einer linearen homogenen Transformation (17) der 

 Veränderlichen x^, x^, x^ äquivalent ist. 



Mithin transformiert die allgemeine lineare homogene Gruppe in 

 ^i, ^2» ^8 die Punkte der Ebene 



" ä'^S 



X, 



