Die lin. homog. Gruppe in a^^, a*,, x^ als allgemeine proj. Gruppe der Ebene. 505 



durch die allgemeine projective Gruppe. Dass nun aber erstere Gruppe 

 neun-, letztere nur achtgliedrig ist, findet hierbei seine Erklärung 

 darin, dass je <x^ Transformationen (17) dieselbe projective Trans- 

 formation (17') in der Ebene darstellen, denn in (17') kommen nur die 

 acht Verhältnisse der a,* in betracht. Wir heben überdies hervor, 

 dass die eingliedrige Gruppe 



alle Punkte der (a;«/)- Ebene in Ruhe lässt. 



Aus den letzten Betrachtungen des vorigen Paragraphen folgt, 

 dass insbesondere auch die achtgliedrige specielle lineare homogene 

 Gruppe in x^, x^^ x^ die ganze projective Gruppe der Ebene darstellt, 

 wie dies in Satz 8 ohne Zuhülfenahme der jetzigen geometrischen 

 Deutung des Näheren ausgesprochen wurde. 



In den homogenen Coordinaten x-^, x^y x^ wird eine beliebige Ge- 

 rade durch eine Gleichung von der Form 



(18) U-^^X^ -\- «2^2 + %^3 = 



gegeben. Da die Transformation (17) in der Ebene (x. : x. : x^ pro- Transfor- 



... . ^' \i<id/r mation der 



jectiv ist, so werden bei ihr die Geraden unter einander vertauscht. Geraden. 

 Wir wollen den analytischen Ausdruck für diese Linientransformation 

 suchen. 



Die Gerade (18) werde vermöge (17) in die Gerade 



(19) 11^' x^ -\- u^x^-\- u^'x^= 



übergeführt. Die zu (17) inverse Transformation wird (19) in (18) 

 verwandeln. Diese inverse Transformation geht durch Auflösung von 

 (17) nach x^, x^, x.^ hervor. Bezeichnen wir mit ^,vt die Unterdeter- 

 minante der Determinante 



I cft* I 



hinsichtlich des Gliedes a,*, so giebt diese Auflösung bekanntlich 



(20) Xk = -^-(ÄuXi-\- Ä2kX.;+ AükX^') {k= i, 2, 3). 



a 



Substitution der vorstehenden Werte in (18) giebt: 



'kAikUkx/= 0. 



Es soll nun diese Gleichung mit (19) übereinstimmen. Ihre linke 

 Seite soll also gleich der von (19), eventuell multipliciert mit einem 

 Factor, sein. Da es aber auch zur Bestimmung der Geraden (19) nur 



