506 Kapitel 19, §2. 



auf die Kenntnis der Verhältnisse der t//, u^, u^ ankommt, so können 

 wir den Factor ohne Einschränkung der Allgemeinheit gleich 1 an- 

 nehmen, also setzen : 



3 3 



Hieraus folgt 



(21) m/«= AnUi + Aizu^ + ^.aWs (* = 1, 2, 3). 



Bekanntlich heissen %, Mg, W3 homogene Linien coordinaten. Wir 

 sprechen daher das Ergebnis so aus: 

 rrwiBf. der gg^^g 9: Bezeichnen x^, x^, x^ homogene Funlä- und u^, u^, u^ 

 iniencoord./^^^^^g^g Liniencoofdinaten in der Ebene, so werden hei der allgemeinen 

 projectiven Transformation der Ebene: 



Xi'= aaXi + ai2X2 + aisX^ (i == 1, 2, 3) 

 die Geraden unter einander vertauscht vermöge der Transformation: 

 m/= Aau^ + Ai^u^ + AiiU^ (* = 1, 2, 3). 



Dabei bedeutet Aik die ünterdeterminante der Determinante \ atk | hin- ; 



sichtlich aa. { 



In § 2 des 10. Kap. haben wir dieselbe Betrachtung in nicht- i 



homogenen Punkt- und Liniencoordinaten durchgeführt. ^ 



Überhaupt ist es nicht schwer, die Betrachtungen des 10. Kap. in | 



homogenen Coordinaten wiederzugeben oder von neuem abzuleiten. ? 



Doch wollen wir uns darauf beschränken, dies nur anzudeuten. Nach ^ 



§ 4 des 10. Kap. nennen wir diejenige Punkttransformation, die her- ) 



vorgeht, wenn in (21) statt u allgemein x geschrieben wird, eine zur . 



Dualist. Transformation (17) dualistische Transformation. :i' 



Haben wir irgend eine Untergruppe der allgemeinen linearen t 



homogenen Gruppe ins Auge gefasst, so erhalten wir eine zu ihr I 



dualistische Gruppe, indem wir jede ihrer Transformationen (17) er- J 



setzen durch die zugehörige Transformation (21) und sodann x statt ^v 



u und x' statt u schreiben. 1 



[nf. lineare j)s licgB ciue infinitesimale lineare homogene Transformation vor: | 



3^ j^ I 



(22) ^/■ = ^^«'«^'|^.- 



1 * 



Sie geht, wie wir sahen, aus (17) hervor, wenn man in (17) 



aik = Sik -f «ti-^^ (h /^ = 1, 2, 3) 

 setzt, dabei unter £,* die Zahl 1 oder verstehend, je nachdem i = 1c 



