508 Kapitel 19, § 2. 



Satz 10: Bedeuten x^, x^, x^ homogene Punläcoordinaten und 

 Uly 4*2 7 ^3 homogene Liniencoordinaten in der Ebene, so erfahren die Ge- 

 raden der Ebene bei der infinitesimalen projectiven Punkttransformation 



3 



1 • 



die infinitesimale Transformation * 



3 



1 * 



Will man gleichzeitig die infinitesimalen Transformationen der 

 Punkte und der Geraden betrachten, so hat man das Symbol Xf-{-üf 

 zu benutzen. 



Wir können auch sagen : 

 aiisi'Sf ^^^2 11 ' ^^^ infinitesimalen projeäiven Transformation 



i. homog. o ^ 



in der Ebene mit den homogenen PunUcoordinaten x^, x^, x^ ist die in- 

 finitesimale Transformation 



Yf=—^^kaHXk^^ 



sowie jede aus letzterer durch lineare homogene Transformation in x^^x^, x.^ 

 hervorgehende infinitesimale Transformation dualistisch. 



Fragen wir uns, wie sich in homogenen Coordinaten die Forde- 

 ivarianz ruug ausdrückt, dass ein Punkt (x^ : X2 : x^) bei einer infinitesimalen 

 'unktes. projectiven Transformation der Ebene in Ruhe bleibt. Diese Frage deckt 

 sich vom analytischen Gesichtspunkt aus mit einer früher erledigten, 

 nämlich mit der Frage nach dem Kriterium für die Invarianz eines 

 durch den Coordinatenanfang gehenden Strahles bei einer vorgeleg- 

 ten infinitesimalen linearen homogenen Transformation des Raumes 



Direct können wir das gesuchte Kriterium in dieser Weise ableiten: 

 Der Punkt mit den homogenen Coordinaten x^, x^, x^ in der Ebene 

 bleibt bei Xf in Ruhe, wenn der Punkt {x^ -f dXi : x^ + ^a^g '- ^3 + ^^^ 

 mit ihm zusammenfällt, d. h. wenn öx^, 8x^, 8x^ proportional mit 

 bez. a?!, x^, x^ sind, wenn also 



8xi = QXi8t (*= 1, 2, 3) 



ist, oder also endlich, wenn die schon im vorigen Paragraphen be- 

 sprochenen Gleichungen bestehen: 

 (23) UiiXi + a^x^ + ttiiX^ = qXi (i = 1, 2, 3), 



