^(?) = 



Die lin. homog. Gruppe in aTj, a-,, x^ als allgemeine proj. Gruppe der Ebene. 509 



die sich nur dann durch nicht sämtlich verschwindende Werte von 

 Xi, x.^, x^ befriedigen lassen, wenn q der cubischen Gleichung genügt: 



«11 — Q «12 «13 



«21 «22 — P «23 =0. 



«31 «32 «33 9 



Andererseits bleibt eine Gerade (wj : u.^ : ^/g), wie eine analoge Be- Invarianz 

 trachtung zeigt, nur dann in Ruhe, wenn die Incremente 8uk der Geraden. 

 Liniencoordinaten den «(j proportional sind, also etwa 



d%. = — qui,8t (i = 1, 2, 3) 

 ist. Die Werte der duk liest man aus Uf ab und findet: 

 (24) anu^ + oratW^ + «3fc«3 = QUk (^ = 1, 2, 3). 



Diese Gleichungen lassen sich nur dann durch nicht sämtlich ver- 

 schwindende Werte von m^, u^, u^ befriedigen, wenn q der cubischen 

 Gleichung genügt: 



*21 "31 



^^22 Q «32 



0, 



Q ist also auch jetzt eine Wurzel der obigen Gleichung zJ^o) = 0. Man 

 bemerkt, dass wir die Gleichungen (24) schon im vorigen Paragraphen 

 statt in «1, U2f u^ in A^, ^2, Ag geschrieben erhielten, als wir im 

 Räume invariante Ebenen durch den Anfangspunkt suchten. Es lieo-t 

 diese Übereinstimmung darin, dass jede derartige Ebene in der unend- 

 lich fernen Ebene eine invariante Gerade bestimmt und umgekehrt. 

 Wir deuteten ja früher in der That x^, x^, x^ gelegentlich als homo- 

 gene Punktcoordinaten in der unendlich fernen Ebene. 



Die Forderung, dass die Gerade {xi^ : u^ : ii^) invariant sein soll, 

 deckt sich mit der Forderung, dass die Gleichung 



in den Veränderlichen x^, x^, x^ bei Xf invariant sein soll. Dem. 

 entsprechend deckt sich die Forderung, dass der Punkt (x^ : x^ : x^) 

 invariant sein soll, mit der anderen, dass die Gleichung 



in den Veränderlichen it^, %, U3 bei der infinitesimalen Transfurma- 

 tion Uf invariant sein soll. 



Wir wollen nun die sich ergebenden Bedingungen (23), (24) und DiscusBion 

 ^(e) = genauer untersuchen. In § 3 des 3. Kap. haben wir schon dingun^gen. 



