510 Kapitel 19, § 2. 



in nicht homogenen Coordinaten das jetzige Problem behandelt und 

 erledigt. Es ist aber von Interesse, es in homogenen Coordinaten 

 durchzuführen. Es können mehrere Fälle eintreten: Ist q eine Wurzel 

 von ^(0 == 0, so reducieren sich für diese die Gleichungen (23) bez. 

 (24) sicher auf höchstens zwei. Es wäre aber möglich, dass sie sich 

 auf nur eine zurückführen lassen. Dies tritt ein, wenn für die be- 

 trefifende Wurzel q auch alle zweireihigen ünterdeterminanten von 

 ^(^) verschwinden. Alsdann ergiebt sich eben nicht nur ein Wert- 

 system (x^ : x^ : %) bez. (ii^ : % : u^, sondern es gehen je oo^ hervor, 

 die wesentlich verschieden sind. Wir finden also dann oo^ ein- 

 zeln invariante Punkte und oo^ einzeln invariante Geraden. Erstere 

 liegen auf einer Geraden, da sie eine lineare Gleichung (23), letztere 

 gehen durch einen Punkt, da sie eine lineare Gleichung (24) erfüllen. 

 Alle einreihigen Determinanten von z/(^) können für eine Wurzel der 

 Gleichung z/(p) = nicht verschwinden, da sonst alle Punkte der 

 Ebene invariant bleiben, d. h. jedes ö Xi = Xidt oder also 

 Xf^Xj^Pj^ -f- X2P2 + X2P3 wäre. Noch bemerken wir: ^^^ = hat 

 stets drei endliche Wurzeln q, da q^ in ^^,,) den Factor — 1 hat. Im 

 besonderen können aber Wurzeln zusammenfallen. Weil aber für eine 

 Doppelwurzel von ^(g) = auch ^J\0 = und weil andererseits 



ist, wenn z/^ä die zweireihige Unterdeterminante von .^(^) hinsichtlich 

 des Gliedes der i*®^ Vertical- und ¥^^ Horizontalreihe bedeutet, so 

 können alle zweireihigen Unterdeterminanten ^ik nur dann verschwin- 

 den, wenn z/(^) == eine Doppelwurzel hat, doch brauchen sie es nicht 

 zu thun. 



Nach diesen Vorbemerkungen gehen wir zur Behandlung der ein- 

 zelnen Fälle über. 



8ter Fall. Erstev Füll: Alle Wurseln q seien verschieden. Alsdann ver- 

 schwinden nicht alle zweireihigen Unterdeterminanten. (23) stellt also 

 für jede Wurzel q zwei verschiedene Geraden dar, deren Schnittpunkt 

 in Ruhe bleibt, entsprechend (24) zwei verschiedene Punkte, deren 

 Verbindende in Ruhe bleibt. Es gehen also drei einzeln invariante 

 Punkte und drei einzeln invariante Geraden hervor. Die drei Punkte 

 können nicht auf einer Geraden liegen, da sonst jeder Punkt auf ihr 

 in Ruhe bleibt, also (23) sich auf nur eine Gleichung reducierte. Da 

 die Verbindende zweier invarianter Punkte eine invariante Gerade ist, 

 so kommen wir notwendig zu der Configuration 1 in Fig. 49. 



Zweiter Zweiter Fall : Eine Wurzel q sei Doppelwurzel, während nicht 



alle Jik für sie verschwinden. Die Doppelwurzel giebt dann zwei 



