Die lin. homog. Gruppe in Xi, a;^, a-3 als allgemeine proj. Gruppe der Ebene. 511 



Geraden (23) mit invariantem Schnittpunkt, die einfache Wurzel eben- 

 falls. Doch werden wir ersteren invarianten Punkt als doppeltzählend, 

 d. h. als zwei unendlich benachbarte invariante Punkte betrachten. 

 Entsprechend ergiebt sich aus (24) eine doppeltzählende und eine ein- 

 fache invariante Gerade. Natürlich ist die eine dieser Geraden die 

 Verbindende der beiden invarianten Punkte. Lässt man den vorliegen- 

 den Fall durch Grenzübergang aus dem ersten hervorgehen, indem 

 man die a,i continuierlich so ändert, bis z/(^) = eine Doppel wurzel 

 erhält, ohne dass alle z/,i verschwinden, so sieht man, dass wir 

 die Verbindende der beiden invarianten Punkte als doppeltzählende 

 invariante Gerade aufzufassen haben und dass die andere invariante 

 Gerade durch den doppeltzählenden Punkt geht. Wir kommen also 

 zur Configuration 2 in Fig. 49. 



JDritter Fall: Eine Wurzel q 

 sei Doppelwurzel und alle ziik seien 

 für sie gleich Null. Hier giebt (23) 

 bez. (24) für die Doppelwurzel nur 

 je eine Gleichung, d. h. es ergeben 

 sich als invariante Punkte alle Punkte 

 einer Geraden, als invariante Geraden 

 alle Geraden durch einen Punkt. Die 

 einfache Wurzel liefert wie früher 

 einen inrarianten Punkt bez. eine 

 invariante Gerade. Der invariante 

 Punkt liegt nicht auf der Geraden 

 jeuer 00^ invarianten Punkte, da 

 sonst für sein q auch alle z/^- Null 

 wären. Entsprechend gehört die ein- 

 zelne invariante Gerade nicht zu den 

 obigen oo^ Daher ist nur die Con- 

 figuration 3 in Fig. 49 möglich. 



Vierter Fall : z/(^) = besitze ^.^ ^^ ■^-^^-- 



eine dreifache Wurzel, für die jedoch 



nicht alle z/a- verschwinden. Alsdann liefert (23) einen dreifach- 

 zählenden invarianten Punkt und (24) eine dreifachzählende invariante 

 Gerade. Letztere enthält ersteren, denn die Punkte der invarianten 

 Geraden erfahren bei Xf eine infinitesimale projective Transformation 

 unter sich, bei der bekanntlich mindestens ein Punkt invariant bleibt. 

 Also kommt das Bild 4 in Fig. 49. 



Fünfter Fall : ^tn) == besitze eine dreifache Wurzel , für die Fünfter 

 alle ^ik = sind. (23) liefert 00^ invariante Punkte längs einer 



