512 Kapitel 19, §§ 2, 3. 



Geraden, (24) oo^ invariante Geraden durch einen Punkt. Letzterer 

 Punkt bleibt in Ruhe, muss also zu jenen cx)^ invarianten Punkten 

 gehören. So geht das Bild 5 in Fig. 49 hervor. 



Wir sehen, dass sich die fünf Möglichkeiten invarianter Punkte 

 und Geraden genau so wie in § 3 des 3. Kap. ergeben, aber unsere 

 jetzige Betrachtungsweise ist kürzer und übersichtlicher. 



Wenn wir nun den invarianten Gebilden vermöge passender pro- 

 jectiver Transformationen besonders bequeme Lagen erteilen, so können 

 wir ohne Mühe die zugehörigen infinitesimalen Transformationen Xf 

 ableiten und erhalten damit auf neuem Wege alle Typen von ein- 

 gliedrigen projectiven Gruppen der Ebene. 



Wir wollen uns aber hiermit nicht aufhalten, sondern uns zu 

 einem Probleme wenden, das die Aufstellung dieser Typen umfasst. 



§ 3. Bestimmung aller Untergruppen der allgemeinen linearen 

 homogenen Gruppe in drei Veränderlichen. 



Es ist bekannt, dass zwischen der aligemeinen projectiven Gruppe 

 der Ebene (x, y) und der allgemeinen linearen homogenen Gruppe in 

 drei Yeränderlichen x^, x.^, x^ eine enge Beziehung besteht, die wir 

 auf geometrischem Wege insbesondere dadurch herstellten, dass wir 

 ^i! ^2; ^3 als homogene Punktcoordinaten in der Ebene deuteten. Da 

 wir nun alle Untergruppen der allgemeinen projectiven Gruppe in 

 Kap. 11 schon bestimmt haben, so wird es uns verhältnismässig leicht 

 sein, mit Hülfe dieses Zusammenhanges alle Untergruppen der allge- 

 meinen linearen homogenen Gruppe in x^, x^, x^ anzugeben. 

 Gleich- Wir nennen zwei Untergruppen der linearen homogenen Gruppe mit 



^^j^tergr _d. eman(?er gleichberechtigt innerhalb dieser Gruppe, wenn die eine durch 

 homogenen Ausübuug einer linearen homogenen Transformation in die andere über- 

 geht. Für jede Schar von gleichberechtigten Untergruppen suchen wir 

 in diesem Paragraphen einen Typus aufzustellen. Kennen wir einen 

 solchen, so kennen wir ja die ganze Schar, da sie durch Ausführung 

 aller linearer homogener Transformationen aus dem Typus hervor- 

 Gleich- gehen. Entsprechend nennen wir zwei Untergruppen der speciellen 

 untergr. d. linearen homogenen Gruppe mit einander gleichberechtigt innerhalb der 

 iiom^enen speciellen Gruppc , wenn die eine durch Ausübung einer speciellen 

 linearen homogenen Transformation in die andere übergeht. Wir 

 wollen auch für diese Scharen gleichberechtigter Gruppen je einen 

 Typus bestimmen. 



Nun gilt zunächst der » 



