Bestimmung aller Üntergr. der allg. lin. homog. Gruppe in drei Veränderl. 513 



Satz 12: Sind zwei Untergruppen der speciellen linearen liomo- 

 gmien Gruppe in x^^ x^, x^ mit einander gleichberechtigt innerhalb der 

 allgemeinen linearen homogenen Gruppe, so sind sie auch mit einander 

 gleichberechtigt innerhalb der speciellen Gruppe. 



Der Beweis ist ganz so wie der des Satzes 10 des § 4, 5. Kap., 

 nur dass statt der dortigen Transformation Tq diese zu gebrauchen ist; 



<==y^X, x^=y2'x^, Xs = }^^'x^. 



Es ergeben sich hiernach alle Typen von Untergruppen der spe- 

 ciellen linearen homogenen Gruppe, indem man die Typen von Unter- 

 gruppen der allgemeinen Gruppe sucht, die in der speciellen Gruppe 

 enthalten sind. 



Ferner bemerken wir, dass eine specielle lineare homogene Gruppe 

 durch Ausführung einer allgemeinen linearen homogenen Transforma- 

 tion S immer wieder in eine specielle übergeht. Denn ist T eine 

 Transformation der ersteren und hat /S die Determinante ^, so hat 

 die durch Ausführung von S auf T hervorgehende S-'^TS nach Satz 1, 

 § 1, die Determinante j ■ 1 ■ zi = 1, ist also auch speciell. 



Endlich sehen wir ohne Mühe ein: Sind zwei lineare homogene 

 Gruppen mit einander dualistisch in der in § 2 auseinandergesetzten 

 Weise und gehört die eine der speciellen linearen homogenen Gruppe 

 an, so gilt dasselbe von der andern. Denn zur Transformation 



a;/= anXi -f a.-aa^g + a^x^ (i= 1, 2, 3) 

 ist nach § 2 diese dualistisch: 



Xi = Äax^ -f Äi2X2 -f Aisx^ («■ = 1, 2, 3), 



in der Äik die Unterdeterminante der Determinante z/« = | «^ 1 hin- 

 sichtlich ttik ist. Letztere aber hat die Determinante 



\Aik\ = \aik\' = ^J. 

 Ist also ^a = 1, so ist auch j ^^-^ | = 1. 



Unser Problem zerfällt also in zwei: 



I. Alle Typen von Untergruppen der speciellen linearen homo- 

 genen Gruppe zu finden. 



IL Alle Typen von Untergruppen der allgemeinen linearen homo- 

 genen Gruppe zu finden, die nicht der speciellen angehören. 



Zunächst lösen wir das erste Problem ohne Mühe: Nach Satz 8 ^^'"tes 

 des ersten Paragraphen ist jeder Untergruppe XJ..Xrf der speciellen ''"''"" 

 linearen homogenen Gruppe in x^, x^, x^ eine Untergruppe UJ. . ürf 

 der allgemeinen projectiven Gruppe in x, y zugeordnet. Sind zwei 



Lie, Continuierliche Gruppen. oo 



