514 ' Kapitel 19, § 3. 



Untergruppen der speciellen linearen homogenen Gruppe innerhalb 

 dieser mit einander gleichberechtigt, so gilt dasselbe von den zuge- 

 ordneten Untergruppen der projectiven Gruppe innerhalb der letzteren, 

 und umgekehrt. Die gesuchten Typen von Untergruppen der speciellen 

 linearen homogenen Gruppe ergeben sich also sofort, wenn wir die in 

 § 4 des 11. Kap. zusammengestellten Typen von projectiven Gruppen 

 in Xj y in den homogenen Veränderlichen x.^, x^, x^ schreiben, wozu 

 wir uns einer zum Schluss des ersten Paragraphen aufgestellten 

 Tabelle bedienen können. So liefert z. B. die Gruppe eines Kegel- 

 schnittes 



p + xq xp-\- 2yq (x^ — y)p + xyq 



sofort den Typus: 



X3P1 + ^iP2 X2P2 — ^ai's ^2^1 ■+• ^lÄ- 

 Zweites Wir kommen ietzt zum zweiten Problem: Wir suchen dieienicren 



Problem. "^ . . , ri 



Untergruppen X^/". . Xrf der allgemeinen linearen homogenen Gruppe, 

 die nicht vollständig der speciellen Gruppe angehören. Da jede in- 

 finitesimale Transformation der speciellen Gruppe linear nach Satz 4 

 des § 1 aus den acht einzelnen 



XkPi, XiPi — XkPk (i, ^ = 1, 2, 3, « 4= ^) 



und jede der allgemeinen Gruppe aus diesen und aus 



ü=x^Py + x^p.,-\-x^p^ 



linear ableitbar ist, so folgt, dass die infinitesimalen Transformationen 

 der gesuchten Gruppe X^f. . Xrf sich so darstellen lassen: 



X,f=Yjf-\-ajU (i=l, 2..r). 



Hierin bedeuten yi/". . Yr/" specielle lineare homogene infinitesimale 

 Transformationen und «^ . . <Zr Constanten. Es giebt aber, wie man 

 sofort sieht, TJ mit jeder speciellen infinitesimalen Transformation Yf 

 durch Klammerbildung combiniert Null, die Klammeroperation von 

 zwei Yf aber wieder ein Yf. Da andererseits nach dem Hauptsatz 



r 



(X.-X,) =^CiksXsf {i, 1c = l,2.,r) 

 1 



sein muss, so folgt also auch: 



r 



(Y;- Yk) =^s c,,.(r/+ üsü) {i, k = l,2..r), 



1 



sodass notwendig jede Summe UCiksCis gleich Null und 



