Bestimmung aller Uutergr. der allg. lin. homog. Grnppe in drei Veränderl. 515 



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ist. Mithin sehen wir: Y^f . . Yrf erzeugen für sich eine Untergruppe 

 der speciellen linearen homogenen Gruppe. Von dieser sogenannten 

 verkürzten Gruppe ausgehend können wir rückwärts die gesuchte 

 Gruppe Xif. . Xrf bilden. 



Unser Problem kommt also darauf hinaus, zu den infinitesimalen 

 Transformationen jedes der beim ersten Problem gefundenen Typen 

 von speciellen linearen homogenen Gruppen additiv Glieder von der 

 Form Const. U hinzuzufügen und eventuell auch U für sich als selb- 

 ständige infinitesimale Transformation hinzuzunehmen, derart, dass 

 wieder eine Gruppe hervorgeht. 



Wir sehen übrigens: Sind zwei Gruppen Y^f .. Yrf nicht inner- 

 halb der speciellen linearen homogenen Gruppe gleichberechtigt, so 

 sind es auch nicht die aus ihnen durch das skizzierte Verfahren her- 

 vorgehenden Gruppen Xj/". . Xrf innerhalb der allgemeinen linearen 

 homogenen Gruppe, denn geht Xjf vermöge einer homogenen linearen 

 Transformation S in Xjf über und ist: 



Xjf= Yjf+ ajU, Xjf= Yjf+ äjU, 



so geht vermöge S auch Yjf in Yjf über, da S specielle Transforma- 

 tionen wieder in specielle überführt. 



Das noch zu erledigende Problem kann nun in zwei Teile zerlegt Teilung d« 

 werden: Entweder enthält die gesuchte Gruppe [J^iCiPi -f" ^2^2 + ^3^ ^robioms. 

 selbständig oder nicht. Eine Gruppe der ersten Art ist nie mit einer 

 der letzteren Art gleichberechtigt, da U nur mit sich selbst gleich- 

 berechtigt ist. Der erste Fall ist nun besonders leicht zu erledigen: 



Enthält die gesuchte Gruppe X, f. . Xrf die infinitesimale Trans- Gruppen, 

 formation U selbständig, so kann sie so geschrieben werden: enthalten. 



XJ..Xr-rf ü, 

 wo dann 



Xjf=Yjf-^ajü (j = l, 2..r) 



ist. Alsdann gehört aber auch Xjf — ajü der Gruppe an. Sie kann 

 darum so geschrieben werden: 



YJ..Yr-xf, U. 



Die in diesem Fall gesuchten Typen gehen also aus den im ersten 

 Problem gesuchten Typen von Untergruppen der speciellen linearen 

 homogenen Gruppe einfach dadurch hervor, dass man zu allen diesen 



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