Bestimmung aller Untergr. der allg. lin. homog. Gruppe in drei Veränderl. 517 



8 



Xi='^aikXk (i = 1, 2, 3) 



1 

 liefert: 



s 



Pk =^aikPi' Qc= 1, 2, 3). 



Soll vermöge der Transformation die Gruppe Xj^f, X^f in eine von 

 derselben Gestalt übergehen, in der nur a etwa einen anderen Wert 

 hat, so muss X^/" gerade in sich — multipliciert mit einer Zahl — 

 übergehen, da X^ f die einzige infinitesimale Transformation der Gruppe 

 ist, die der speciellen Gruppe angehört, oder auch da {X^X^^XJ 

 ist. Also ist zu fordern: 



^3 Px+^xP2 = ^ {^iPl + X^Pi) ('^ 4= 0) ; 



x^p^ — x^p^ -\- aü = 



i^{^zPx+ ^xP^) + ^{X^PI— ^3>3')+ «'^'(^ + 0). 



Setzen wir hierin die obigen Werte der pk ein, so giebt der Vergleich 

 der Coefficienten von p^ in beiden Relationen: 



Qjo^tJCa doojOo ' \Ct et V ) Xo • 



Also ist nach der ersten Bedingung a^i = a-^>=0 und daher Xs=a^2X^, 

 d. h. 0334=0. Vergleich der Coefficienten von jp/ giebt weiter aii=^a^2, 

 also «11 =H 0, ferner (a — a)aii = 0, also a = a'. Die zweite der 

 vorstehenden Bedingungen liefert hiernach noch v = 1. Es ist also 

 V : a = 1 : a, mit anderen Worten: Durch Einführung neuer Variabein 

 kann a nicht specialisiert werden. 



Wie in diesem Beispiel, so kann man allgemein einsehen, dass 

 in einer infinitesimalen Transformation, die aus x^p^, X2P2, x^p^ allein 

 linear ableitbar ist, die auftretenden Coustanten nicht weiter speciali- 

 siert werden können. Denn 



^l^lPl + h^2P2 + ^3^3 2^3 



geht vermöge der linearen Transformation 



3 



(25) Xi' = ^kai,Xk (i = 1, 2, 3) 



1 



über in 



3 8 



^hXk^ttikpl, 



