VerallgemeineruDgen auf- n Veränderliche. 523 



liehen ausdehnen. Wir wollen einige Sätze über die linearen homo- 

 genen Gruppen in beliebig vielen Veränderlichen aufstellen. Die Er- 

 gebnisse werden zum Teil im nächsten Paragraphen weiter verwertet 

 werden. 



Wir betrachten also lineare homogene Transformationen in n 

 Veränderlichen x^ . . x^- Dabei wollen wir diese Veränderlichen als 

 Jiomogene PunMcoordinaten in einem Räume JR„-i von n — 1 Dimensionen 

 deuten. Schreiben wir eine solche lineare homogene Transformation : 



(26) Xi'= ttaXj^ + \- ttinXn (i = I7 2 . . n) 



in den nicht -homogenen Punktcoordinaten 



£, = ^ {i = l,2--n-l), 

 so lautet sie: 



a>.l.+ -- + au-^.+^u (i = l, 2..n-l), 



und dies ist die allgemeine Form einer sogenannten projediven Trans- ^roj. Trf. 

 formation im Räume Bn—i von n — 1 Dimensionen mit den Punkt- 

 coordinaten Ji . . j:„_i. Die transformierten Veränderlichen j/. . j^_i 

 sind linear gehrocliene Functionen der ursprünglichen Veränderlichen 

 Ji . . j„_i mit demselben Nenner. Für w = 2, 3 deckt sich die jetzige 

 Definition der projectiven Transformation mit den früher für die Ge- 

 rade und die Ebene gegebenen Definitionen. 



Da die homogene Form (26) aber bequemer als die nicht-homo- 

 gene (27) ist, weil sie das ünendlichferne in derselben Weise zu be- 

 handeln gestattet wie das Endliche, so benutzen wir in diesem Para- 

 graphen nur die homogene Form (26). 



Betrachten wir insbesondere eine infinitesimale projective Trans- 

 formation des Bn — i, also eine infinitesimale lineare homogene 

 Transformation in x^ . . x»: 



^f=^^('ik 



XkPi 



Nur nebenbei bemerken wir, dass sie geschrieben in den nicht -homo- 

 genen Coordinaten j^ . . Jn— 1 die Form annimmt: 



1 



\ » — 1 / n — 1 



+^ ( ^'^ociklk — cCn.TCi ) pi — 2 «»*?* ( 2 E' V'- ) , 



n — 1 / n — 1 



(28) 



d. h. allgemein linear ableitbar ist aus den n"^ — 1 einzelnen: 



