Invariante 

 Punkte. 



524 Kapitel 19, § 4. 



Ph hVi, lk(hPi + hp2 H h J»Pn) 



(i, Jc^l, 2,.n—l). 



Suchen wir die bei Xf invarianten Funkte {x^-. • •: Xr), so haben wir 

 wie in § 2 zu verfahren: Der Punkt {x^i-'-.Xn) bleibt bei Xf invariant, 

 wenn die Incremente, die x^. .Xn erfahren, proportional x^. .x„ sind, 

 wenn also eine Grösse q existiert derart, dass 



XXi ^ ^ aaXk == QXi (»" = 1 , 2 . .n) 



ist. Dies sind n lineare homogene Gleichungen in x^ . . Xn: 



(29) ttixx^ -I f- {an ~ Q)Xi-\ 1- ainXn = {i=l, 2 ..n), 



deren Determinante 



^(e) = 



«11 P «12 • • «1» 



«21 «22 — 9 ' ' «2» 







««1 «w2 • • C^nn — Q 



sein muss, wenn es überhaupt einen invarianten Punkt (a^i : • • : Xn) giebt. 

 Man hat daher q als Wurzel der Gleichung z/(^) = zu wählen, die 

 sicher mindestens eine Wurzel besitzt, da sie stets vom n*®° Grade 

 ist. Setzt man eine Wurzel q in (29) ein, so erhält man ein Glei- 

 chungensystem, das sicher ein nicht völlig verschwindendes Lösungen- 

 system x^. .Xn besitzt. Es giebt mithin stets mindestens einen in- 

 varianten Punkt. 



Satz 13: Jede infinitesimale Transformation 



kCCikXicPi 



in den Jiomogenen PunMcoordinaten x^ . .x^, also jede infinitesimale pro- 

 jective Transformation eines Raumes von n — 1 Dimensionen lässt min- 

 destens einen Punkt (xi'.'-iXn) in Buhe. 



Im allgemeinen Fall, dass zf(r>) = gerade n verschiedene Wur- 

 zeln hat, verschwinden bekanntlich nicht alle (n — 1)- reihigen ünter- 

 determinanten der Determinante ^(^), und die Gleichungen (29) geben 

 dann für jede Wurzel q gerade einen invarianten Punkt, da sie die Ver- 

 hältnisse von x^. .Xn vollständig bestimmen. Es ist aber auch möglich, 

 dass die Gleichung z/(^) = mehrfache Wurzeln besitzt. Verschwinden 

 für eine solche nicht alle (n — 1) -reihigen Unterdeterminanten von 

 z/(^), so liefert sie einen invarianten Punkt, den man sich als eine 

 Anzahl unendlich benachbarter invarianter Punkte, also als einen mehr- 

 fachen invarianten Punkt vorstellen kann. Sobald aber für eine 



