Verallgemeinerungen auf n Veränderliche. 525 



Wurzel Q alle (n — l)-reihigen, sagen wir allgemein alle (w — q)- 

 reihigen, nicht aber alle (n — q — 1)- reihigen Unter determinanten 

 von z/(j) verschwinden^ — und das kann bekanntlich nur bei mehr als 

 g- fachen Wurzeln unter Umständen vorkommen — , so reducieren sich 

 für diese Wurzel die Gleichungen (29) auf nur n — q — 1 von ein- 

 ander unabhängige Gleichungen und bestimmen daher eine g-fach aus- 

 gedehnte ebene Mannigfaltigkeit Mg, deren sämtliche oo« Punkte ein- 

 zeln in Ruhe bleiben. 



Zu jeder Wurzel q von z^,,,, = gehört also, allgemein ge- 

 sprochen, eine gewisse ebene Mannigfaltigkeit von lauter invarianten 

 Punkten, die sich insbesondere auf einen einzigen Punkt reducieren 

 kann. Es fragt sich, ob sich durch Benutzung aller Wurzeln q ein 

 und derselbe invariante Punkt mehrmals ergeben kann, d. h. ob die 

 zu zwei verschiedenen Wurzeln p^, q^ gehörigen ebenen Mannigfaltig- 

 keiten von lauter invarianten Punkten etwa Punkte gemein haben. 

 Die Punkte (x) der einen Mannigfaltigkeit genügen den Gleichungen 



^■ccikXk = QiXi (z = 1, 2 . . w), 

 i 



die der anderen den Gleichungen 



n 



Soll ein Punkt (x) beiden Mannigfaltigkeiten gemein sein, so muss 

 für ihn also: 



(Qi — Q2)^i = (* = 1, 2 . . w), 



d. h. Xi = • • = x„ == sein. Dieses Wertsystem ist jedoch bei homo- 

 genen Coordinaten ausgeschlossen. Die beiden Mannigfaltigkeiten haben 

 also keinen Punkt gemein, sie sind, wie man auch sagt, zu einander 

 windschief. 



Man kann hiernach alle Möglichkeiten der Configuration der in- 

 varianten Punkte überblicken, wenn man noch einen für den Fall 

 n = 3 schon in § 1 des 2. Kap. erkannten Satz berücksichtigt : 



Satz 14 : Eine projedive Transformation eines Raumes von n — 1 

 Dimensionen lässt alle Punkte dieses Raumes in Ruhe, sobald sie n -\- 1 

 Punkte in Ruhe lässt, die nicht sämtlich in einer ebenen Mannigfaltigkeit 

 von niederer Bimensionenzahl gelegen sind. 



Dieser Satz ist offenbar. bloss ein Specialfall des folgenden: 



Satz 15 : Es giebt eine und nur eine projective Transformation eines 

 Raumes von w— 1 Dimensionen, die n-\-l bestimmte Punkte dieses Raumes, 



