526 Kapitel 19, § 4. 



von denen n nicht derselben ebenen (n — 2) fach ausgedehnten Mannig- 

 faltiglceit angehören, in n -\- 1 bestimmte Punkte gleicher Art überführt. 



Soll nämlich eine projective Transformation n Punkte allgemeiner 

 Lage in n ebensolche überführen, so lässt sich dies auch so aus- 

 drücken: Sie soll n Mannigfaltigkeiten allgemeiner Lage 



?;i^i H h hnXn = 0* == 1, 2 . . w) 



in n andere ebene Mannigfaltigkeiten allgemeiner Lage überführen: 



ljiXi'-\ h ljnXn = (j == 1, 2 . . m). 



Dies giebt für die transformierten Variabein die Bedingungen: 



(30) ljiX^-\ f- IjnXn^ QjQnOCi H h IjnOOn) (j = 1, 2 . . w), 



deren Auflösung nach den x/ die Transformation darstellt. Sie enthält 

 n willkürliche Constanten q^ ..()«. Soll aber noch ein gegebener Punkt 

 (xi) in einen gegebenen Punkt (^/) übergehen, so giebt dies Bedingungen 



h"^i-\ h hn^n^ ^Qj{h\ H h IjnXr) (j = 1 , 2 . . n) , 



die Qi. . Qn bis auf einen Factor <? bestimmen. Die durch Auflösung 

 von (30) hervorragende Transformation hat also nur rechts einen un- 

 bestimmten Factor (?, der aber bei Einführung nicht-homogener Coor- 

 dinaten auch fortfällt. 



Wir können, da nach Satz 13 sicher ein Punkt {x^^:- • :Xn) bei 

 Xf in Ruhe bleibt, als neues Coordinatensystem ein solches (x^-.'-'.x,^ 

 wählen, dass dieser Punkt mit der n)'^^ Ecke des neuen Coordinaten- 

 systems zusammenfällt, dass also für ihn x^ . . Xn—x gleich Null werden. 

 Es geschieht dies z. B. bei der Substitution 



Xi = XnXi — XpXn (« = 1, 2 . . W 1), 



/y» -;_— /y» /VI 



^n •*'» '^n ; 



also bei Ausführung einer passenden projectiven Transformation des 

 Bn—i, bei der Xf wieder in eine infinitesimale lineare homogene 

 Transformation in S^ . . Xn übergeht. Denken wir uns, 



n 



Xf ^ x/ X^ ^'* ^^Pi 

 1 



sei schon von vornherein auf eine solche Form gebracht, so ist 



Xxi ^ ^k UikXk für den invarianten Punkt (0 : • • : : 1) von der Form 



a,„. Es müssen also dann alle «,„ mit Ausnahme von «„„ Null sein. 

 Somit hat Xf die Form: 



n — 1 « 



Xf ^^/^f «i/t Xk Pi +^^ ««A XkPn ' 

 1 f 



