Verallgemeinerungen auf n Veränderliche. 527 



Bei dieser Transformation werden die oo''— ^ Strahlen durch den in- ''''^"^f- ^'^^ 



Strahlen 



Varianten Punkt (0 : • • : : 1) unter einander vertauscht, da Xf jede ''"p^^"''- 

 ebene Mannigfaltigkeit wieder in eine ebene Mannigfaltigkeit überführt. 

 Wollen wir wissen, wie diese Vertauschungen beschaffen sind, so haben 

 wir zunächst geeignete Coordinaten für diese Strahlen einzuführen. 

 Da nun jeder Punkt (xi:--:x„) einen solchen Strahl bestimmt und auf 

 seinem Strahle verbleibt, wenn die Verhältnisse von x^^ . . x„—i unge- 

 ändert bleiben, aber Xn beliebig geändert wird, so können wir Xi..Xn—i 

 als homogene Coordinaten der oo"— ^ Strahlen durch den invarianten 

 Punkt (0:--:0:l) auffassen. Diese Strahlen (Xi'.- ■:Xn—i) werden also 

 bei Xf vermöge der verlcürzten infinitesimalen linearen homogenen 

 Transformation 



n — 1 



X'f ^ ^^ a-ik XkPi 

 1 



unter einander vertauscht. Ein Strahl (x^:- -'.Xn-i) ist invariant, wenn 

 für ihn alle X'xi proportional den Xi sind. Diese Bedingung ist genau 

 dieselbe, wie für die Invarianz eines Punktes {x^:--'.Xn) bei Xf. Es 

 liegt dies darin, dass überhaupt ein durch homogene Coordinaten be- 

 stimmtes Gebilde nach dem Begriffe der homogenen Coordinaten dann 

 und nur dann invariant bleibt, wenn die Incremente seiner Coor- 

 dinaten den Coordinaten proportional sind. 



Also genau so, wie bei Xf sicher ein invarianter Punkt existiert, 

 ist bei X'f und daher auch bei Xf mindestens ein durch den in- 

 varianten Punkt gehender invarianter Strahl vorhanden. Durch Aus- 

 führung einer passenden linearen homogenen Transformation von 

 x^ . . Xn—x lässt sich nun auch erreichen, dass dieser Strahl die Kante 

 wird, welche die beiden Ecken (0:--:0:l) und (0:--:l:0) des Coor- 

 dinatensystems verbindet. 



Nehmen wir an, Xf sei schon auf eine solche Form gebracht, 

 sodass also X/" den Punkt (0:--:0:l) und die Gerade von ihm nach 

 dem Punkt (0 : • • : 1 : 0) in Ruhe lässt. 



Alsdann müssen in 



n — 1 n 



Xf ^ ^ i ^k «aXkPi +2 CCnkXkPn 

 1 1 



die Incremente von x^ . . Xn-2 für ic^ = 0, . . Xn-2 = verschwinden, 

 d. h. es müssen «i^ „_i . . a„_2, «_ i sämtlich Null sein, sodass Xf die 

 Form hat: 



n — 2 w — 1 n 



11 1 



Da Xf jede ebene Mannigfaltigkeit wieder in eine solche um- 



