528 Kapitel 19, § 4. 



Transf. der wandelt, SO Werden bei X/" alle oo"—^ ebenen zweifach ausgedehnten 



ebenen M^ ' _ i • • n 



durch inv. Mannigfaltigkeiten M^, die durch den betrachteten invarianten Strahl 



strahl. O O ^' 



gehen, unter sich vertauscht. Wir können nun Xi..Xn—2 als homo- 

 gene Coordinaten dieser M^ benutzen, sodass die M^ bei X/" die zwei- 

 mal verkürzte infinitesimale Transformation * • 



X"f^J>i ^T^ttikXkPi 



1 



erfahren, u. s. w. 



Wir können also die früheren Schlüsse fortwährend wiederholen. 

 Indem wir jedesmal eine passende lineare homogene Transformation 

 auf Xf ausführen, deren gesamte Aufeinanderfolge natürlich schliess- 

 lich einer einzigen äquivalent ist, gelangen wir schliesslich zu einer 

 besonderen Form von X/". Die Invarianz jenes Strahls, einer ebenen 

 il/g u. s. w. gilt natürlich auch für die ursprüngliche infinitesimale 

 Transformation X/l Wir sprechen daher das Theorem aus: 



Theorem 34: Jede infinitesimale lineare homogene Trans- 

 ctinoniache fQffyidfion Xf in n Veränderlichen x. . . Xn kann durch Aus- 



Form einer 



inf. lim fßfifu^g einer passenden linearen homogenen Transformation 

 auf die Form: 



gebracht werden. Deutet man x^ . . x^ als homogene PunJct- 

 coordinaten eines (n — l)fach ausgedehnten Raumes Rn—i, so 

 kann man dies auch so aussprechen: Jede infinitesimale pro- 

 jective Transformation des Bn—i lässt mindestens einen Punkt, 

 mindestens eine durch diesen gehende Gerade, mindestens eine 

 durch letztere gehende zweifach ausgedehnte ebene Mannig- 

 faltigkeit u. s. w. invariant. 



Ausserdem haben wir gefunden: 



Satz 16 : Durch jede bei einer infinitesimalen projectiven Trans- 

 formation eines Raumes Rn—i invariante ebene qfach ausgedehnte Mannig- 

 faltigkeit geht mindestens eine ebenfalls invariante ebene (q -\- l)fach aus- 

 gedehnte Mannigfaltigkeit 



Im Falle w = 3 haben wir diese Ergebnisse in den Sätzen 1 

 und 2 des § 1, 3. Kap., schon ausgesprochen. 



Für w = 4 folgt: Bei jeder infinitesimalen projectiven Transfor- 

 mation des gewöhnlichen Raumes bleibt mindestens ein Funkt in- 

 variant; durch jeden invarianten Punkt geht mindestens eine invariante 

 Gerade und durch jede invariante Gerade mindestens eine invariante 

 Ebene. 



