Verallgemeinerungen auf n Veränderliche. 529 



Wir wollen nicht unterlassen^ noch auf ein wichtiges allgemeines 

 Ergebnis hinzuweisen: Unsere obigen Betrachtungen lehren, dass bei 

 einer infinitesimalen projectiven Transformation des Rn—i alle durch 

 eine invariante ebene gfach ausgedehnte Mannigfaltigkeit M^ gehenden 

 ebenen Mq-\-i bei geeigneter Coordinatenwahl ebenfalls projectiv trans- 

 formiert werden. Hierauf beruht eben unser Theorem. Die seeiffnete 

 Coordinatenwahl besteht nach dem Obigen darin, dass als homogene 

 Coordinaten der -M^;+i gewisse lineare homogene Functionen der Coor- 

 dinaten x^ . . Xn benutzt werden. 



Das hiermit ausgesprochene Princip ist in der Theorie der pro- 

 jectiven Gruppen überhaupt von Wichtigkeit. Wir werden dies noch 

 weiterhin einsehen. 



Oben wurde besonders betont, dass die bei Xf invarianten Punkte 

 ebene Mannigfaltigkeiten bilden, die zu einander ivindschief sind, 

 Mannigfaltigkeiten also, die von einander isoliert sind. Der Raum der 

 oo"— 2 Strahlen durch einen invarianten Punkt wird, wie wir sahen, 

 bei Xf auch projectiv transformiert. Die invarianten Strahlen ordnen 

 sich daher entsprechend in ebene Mannigfaltigkeiten an, die ausser 

 dem einen invarianten Punkt keinen Punkt gemein haben. Ent- 

 sprechendes gilt von den invarianten ebenen M^ durch einen dieser 

 invarianten Strahlen. Sie ordnen sich in ebene Mannisrfalticrkeiten 

 an, die ausserhalb des Strahles keinen Punkt gemein haben, u. s. w. *). 



Wir wollen hiervon eine wichtige Anwendung macheu, zu der 

 wir aber einige Sätze vorausschicken müssen: 



Satz 17: Enthalt eine r-gliedrige Gruppe Gr eines Raumes eme invariante 

 invariante s-gliedrige Untergruppe g^, und lässt diese Untergruppe g^ fait^gkeit 

 eine Mannigfaltiglieit M invariant, so lässt diese Untergruppe auch jede unterer. 

 Mannigfaltigkeit invariant, die aus M durch Ausführung irgend einer 

 Transformation der ganzen Gruppe Gr hervorgeht. Wenn die g^ die 

 PunJcte von M gerade q-gliedrig (q ^ s) transformiert, so gilt dasselbe 

 für die Punkte jeder dieser neuen Mannigfaltigkeiten. 



Zum Beweise erinnern wir an die Definition der invarianten 

 Untergruppen in § 3 des 18. Kap. Danach ist g, eine invariante 

 Untergruppe von Gr, wenn die ebene Mannigfaltigkeit, die g^ im 



*) Die im Texte aufgestellten Sätze über das Verhalten von Punkten und 

 ebenen Mannigfaltigkeiten bei einer infinitesimalen projectiven Transformation 

 gelten offenbar auch für endliche projective Transformationen. Diese Sätze hin- 

 sichtlich nur einer Transformation unterscheiden sich nur in der Form von 

 Theorien, die wohl Cauchy zuerst formuliert hat; die allgemeinen gruppen- 

 theoretischen Sätze des Textes dagegen gehören Lie. 



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