530 Kapitel 19, § 4. 



Räume der adjungierten Gruppe von Gr darstellt, bei der adjungierten 

 Gruppe invariant bleibt, d. h. wenn jede Transformation S von g^ ver- 

 möge irgend einer Transformation T von Gr wieder in eine Trans- 

 formation S' = T~^8T von g^ übergeht. Ist nun M bei allen S in- 

 variant, so ist 



{M)TS'= (M)TT-'ST={M)ST= {M)T, 



d. h. die Mannigfaltigkeit {M)T, die aus M vermöge T hervorgeht, 

 ist auch bei allen Transformationen S' von gs invariant. S' stellt näm- 

 lich in der That ebenso Avie S alle Transformationen von g^ dar, denn 

 es ist auch umgekehrt TS'T~^ = S. 



Wenn ferner die Punkte von M vermöge der gs gerade von oo? 

 verschiedenen Transformationen unter einander vertauscht werden, so 

 gilt dasselbe von den Punkten der Mannigfaltigkeit {M)T, denn wenn 

 Si und S2 die Punkte von M in derselben oder in verschiedener 

 Weise unter sich transformieren, so gilt dasselbe von den zugehörigen 

 S^= T-^S^T und 8./= T-'S^T bei der Mannigfaltigkeit {M)T, da 

 ja Si und S^' aus S^ und S2 durch Ausführung von T hervorgehen. 

 iBoiiorte Wir führen nun den Begriff: isolierte invariante Manniqfaltiqlieit 



inv.Manuig- _ ^ '=' ^i i7 



faltigkeit. ein. Wenn die Gruppe gs einzelne discrete Punkte oder einzelne discrete 

 Curven u. s. w. in Ruhe lässt, so nennen wir diese invarianten- Mannig- 

 faltigkeiten isoliert. Wenn gs dagegen z, B. alle Punkte einer Curve 

 in Ruhe lässt, so nennen wir diese Punkte nicht isolierte invariante 

 Punkte. Ebenso heissen unendlich viele einzeln invariante Curven, 

 die eine Fläche erzeugen, nicht isolierte invariante Curven, u. s. w. 

 Allgemein sagen wir: Eine bei der Gruppe gs invariante Mannig- 

 faltigkeit M heisst isoliert, wenn es keine continuierliche Schar von 

 invarianten Mannigfaltigkeiten giebt, der M angehört, derart, dass die 

 Punkte jeder dieser Mannigfaltigkeiten bei Qs gleichviel- gliedrig trans- 

 formiert werden. 



Wenn also z. B. gs 00^ Ebenen im gewöhnlichen Räume in Ruhe 

 lässt, die eine continuierliche Schar bilden, und wenn jede dieser 

 Ebenen g- gliedrig in sich transformiert wird, nur eine einzelne der 

 Ebenen weniger als g- gliedrig, so ist diese eine isolierte invariante 

 Mannigfaltigkeit. 



Ist nun gs wieder eine invariante Untergruppe von Gr und besitzt 

 gs eine isolierte invariante Mannigfaltigkeit M, so geht diese nach 

 dem soeben bewiesenen Satze bei Ausführung aller Transformationen 

 von Gr in ebenfalls bei gs invariante Mannigfaltigkeiten über. Da M 

 isoliert ist und andererseits dieser Überscang doch continuierlich voll- 



