Verallgemeinerungen auf n Veränderliche. 531 



zogen werden kann, weil die Gruppe Gr continuierlich ist, so ist dies 

 nur so denkbar, dass M überhaupt dabei stets in sich übergeht, d. li. 

 dass M bei der ganzen Gruppe Gr in Ruhe bleibt. Wir finden also: 

 Satz 18 : Enthält eine r-gliedrige Gruppe Gr eines Baumes eine 

 invariante s-gliedrige Untergruppe g^, und besitzt letztere eine isolierte 

 invariante MannigfaltigTieit M, so bleibt diese Mannigfaltigkeit M auch 

 bei der ganzen Gruppe Gr invariant. 



Wir wenden diesen Satz und das Frühere auf eine besondere Projectivo 

 Kategorie von projectiven Gruppen an : von i)esoiid. 



TiT • i*i- • • /-^ /-^ Zusaiumen- 



Jiis liege eine r-gliedrige projective Gruppe Gr unseres Raumes setzung. 

 Rn — i. vor, die eine {r — l)-gliedrige invariante Untergruppe Gr—i be- 

 sitze. Diese (r — l)-gliedrige Untergruppe Gr—i soll ihrerseits wieder 

 eine (r — 2)-gliedrige invariante Untergruppe Gr— 2 besitzen, die also 

 nicht notwendig auch in der Gruppe Gr, sondern eben nur in der 

 Gruppe Gr—i invariant sein soll. Entsprechend besitze Gr—2 eine in- 

 variante Untergruppe Gr—s u. s. w., bis wir schliesslich zu einer ein- 

 gliedrigen Untergruppe G^ kommen. 



Wählen wir als infinitesimale Transformation X^f die von G^, 

 als Xj/", Xg/ die von G^,, .... endlich als infinitesimale Transforma- 

 tionen X^f..Xr-ifdie von Gr-i, als X^/". . X,/ die von Gr selbst, 

 so drückt sich unsere Voraussetzung nach § 3 des 18. Kap. dadurch 

 aus, dass die Klammerausdrücke die Form haben: 



( ^1 ^3) = Ci3i XJ-j- Ci32 X2 f, (Xg X3) EEE C231 X, /" -f <^232 X2 f 



u. s. "w., also allgemein: 



j-fi— 1 



(31) (X,X, + ,)=^c,-,,+,,,X,/' 



0'=1, 2..r— 1, 1c=l, 2 ..r — i). 



Gl oder X^f besitzt nach dem Früheren im Rn—i eine Anzahl wind- 

 schiefer ebener Mannigfaltigkeiten M von einzeln invarianten Punkten. 

 Jede dieser Mannigfaltigkeiten M ist also einzeln invariant und wird 

 durch Gl nullgliedrig in sich transformiert, ist daher eine isolierte in- 

 variante Mannigfaltigkeit. Denn jede invariante Mannigfaltigkeit, die 

 von dieser einen unendlich wenig verschieden wäre, enthält sicher 

 nicht lauter einzeln invariante Punkte, wird also durch G^j mindestens 

 eingliedrig transformiert. Nach Satz 18 bleibt jede isolierte Mannig- 

 faltigkeit M auch bei der G^ oder X,/) X^f invariant. Nun wird die 

 G2 die Punkte jeder dieser Mannigfaltigkeiten M unter einander und 



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