532 Kapitel 19, § 4. 



zwar projectiv transformieren. Da aber, wie gesagt, X^f selbst alle 

 Punkte von M einzeln in Ruhe lässt, so wird G^, die Punkte von M- 

 nur eingliedrig, nämlich vermöge X^f, unter sieh projectiv vertauschen 

 Aber X^f besitzt nun in der Mannigfaltigkeit M ebenso wie vorher 

 X^f iva Rn—i eine Anzahl Mannigfaltigkeiten invarianter Punkte. Also 

 folgt, dass es sicher wenigstens einen Punkt in der Mannigfaltigkeit 

 31 giebt, der auch bei X^f in Ruhe bleibt. 



Es existiert somit mindestens ein Punkt, der bei der Gruppe G^ 

 in Ruhe bleibt. 



Betrachten wir alle oo""^ Strahlen durch diesen Punkt. Sie 

 werden bei G^ wie bei G^ unter einander vertauscht. Betrachten wir 

 die Strahlen anstatt der Punkte als Elemente, indem wir wie früher 

 für sie homogene Coordinaten benutzen, sodass sie auch projectiv 

 transformiert werden, so besitzt G^ wieder eine Anzahl isolierter in- 

 varianter Mannigfaltigkeiten, und es folgt analog, dass G^ wenigstens 

 eines jener Elemente, wenigstens einen Strahl also durch den festen 

 Punkt in Ruhe lässt. Ebenso beweisen wir, wenn wir alle ebenen 

 zweifach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten M^ durch diesen Strahl als 

 Elemente betrachten, dass G^ mindestens eine dieser ebenen M^ in 

 Ruhe lässt, u. s. w. 



Die Gruppe G,^ lässt somit mindestens einen Punkt, mindestens 

 eine durch diesen gehende Gerade, mindestens eine durch letztere 

 gehende ebene zweifach ausgedehnte Mannigfaltigkeit u. s. w. invariant. 



Wir können dieselbe Schlussfolgerung nun ohne Mühe auf die Gr^ 

 ausdehnen. Denn zunächst ist klar, dass alle bei G^ invarianten Punkte 

 eine Reihe windschiefer ebener Mannigfaltigkeiten bilden, ebenso wie 

 dies schon bei G^ der Fall ist. Ähnliches gilt für die Strfthlen 

 durch einen der bei G,^ invarianten Punkte u. s. f., sodass also 

 der Wiederholung unserer Schlüsse für die Gruppe G^ nichts im 

 Wege steht. 



Schliesslich gelangen wir so zu dem wichtigen Ergebuiss: 



Satz 19: Enthält eine r-gliedrige projective Gruppe X^f..Xrf des 

 Baumes R„—i eine (r — \)-gliedrige invariante Untergruppe, letztere eine 

 in der {r — l)-gliedrigen invariante {r — 2)-gliedrige Untergruppe u. s. w., 

 kann man also die infinitesimalen Transformationen der Gruppe X^f..Xrf 

 so auswählen, dass 



i + k — l 



{X,Xi+,)=^sc,^,+,,sX,f (^ = l, 2..r— 1, ]c=l,2..r-i) 



wird, so besitzt die Gruppe X^f..Xrf in dem Bamne B„ — i mindestens 

 einen invarianten Punkt Mq. Durch jeden invarianten Funkt Mq geht 



