Verallgemeinerungen auf n Veränderliche. 533 



mindestens eine invariante Gerade M^, durch jede invariante Gerade 

 mindestens eine invariante zweifach ausgedehnte ebme Mannigfaltigiceit 

 3U u. s. tv. Durch jede invariante ebene M„-3 geht schliesslich min- 

 destens eine invariante ebene 3In—2- 



Wir können durch Einführung passender Veränderlicher x^^ . . x,, 

 vermöge einer linearen homogenen Substitution, also vermöge einer 

 projectiven Transformation des Bn-i stets erreichen, dass der Punkt 

 J/„ der Punkt (0 : . . : 1), der Strahl 31^ die Gerade von Mq nach 

 dem Punkte (0 : . . 1 : 0) u. s. w. wird, sodass alle XJ'. . Xrf genau 

 dieselbe Reihe von ebenen Mannigfaltigkeiten 3Iq, 31^, 31^... in Ruhe 

 lassen, wie früher Xf in Theorem 34. Daher nehmen alsdann XJ..X,.f 

 sämtlich die damalige Form an. Deshalb lässt sich der letzte Satz 

 auch so formulieren: 



Satz 20: Ist eine lineare homogene Gruppe X^f-.Xrf in n Ver- 

 änderlichen so beschaffen, dass Eelationen von der Form 

 i+i — i 

 {XiXi+>,)=2jCi,i+k,sXJ (i = l, 2../--1, Jc=l,2..r-i) 



bestehen, so Jcann man stets solche neue Veränderliche x^ . . x,i vermöge 

 einer linearen homogenen Transformation einführen, dass alle Xkf gleich- 

 zeitig die besonderen Formen 



{l=\, 2..r) 

 annehmest. 



Den Satz 19 werden wir später für gewisse nicht projective 

 Gruppen verwerten, indem wir ihn auf ihre adjungierten Gruppen an- 

 wenden. 



Vorher soll aber noch auf die Abänderung eingegangen werden, 

 welche die geometrische Deutung des Theorems 29 in § 4 des 

 16. Kap. erfährt, sobald man die Variabein als homogene Coordinateu 

 auffasst. Wir haben schon gelegentlich auf diese Änderung aufmerk- 

 sam gemacht. 



Liegt eine Gruppe vor, deren infinitesimale Transformationen 

 homogen in ihren Veränderlichen x^ . . Xn sind, und deutet man ihre 

 Veränderlichen als homogene Punktcoordinaten eines i?„_i, wie wir 

 I es in diesem Paragraphen gethan haben, so ist zu beachten, dass 

 eine ihrer infinitesimalen Transformationen einem Punkte {x^:--:Xn) 

 keine Fortschreitung im E„_i zuerteilt, sobald ihre Incremente für 

 diesen Punkt proportional x^ . . Xn selbst sind. Man wird daher immer 

 ausser den Transformationen der Gruppe auch solche von der Form 



