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Kapitel 19, §§ 4, 5. 



jOi — — " A jOi M U/ii A U/n 



Xn nXn 



zulassen, die von x^p^ + ^tP^ + " * + ^nPn erzeugt werden. Man wird 

 daher zu den infinitesimalen Transformationen der Gruppe stets 

 U ^ x^p^ -f- f- XnPn hinzufügen dürfen , ohne die begriffliche Deu- 

 tung zu stören. Andererseits ist dies analytisch stets möglich, da ü 

 mit einer infinitesimalen homogenen Transformation combiniert stets 

 diese reproduciert, insbesondere, wenn die Transformation linear ist 

 Null ergiebt. 



Nehmen wir an, wir hätten, wie wir dies auch in unseren Bei- 

 spielen stets gethan haben, zu den infinitesimalen Transformationen 

 der Gruppe in der That TJ^^x^p^ + • • + XnPn hinzugefügt. Ist die 

 neue Gruppe eingliedrig, so ist sie von U selbst erzeugt und lässt alle 

 Punkte in Ruhe. Ist sie zweighedrig, so erteilt sie einem Punkte 

 {x^ . . Xr) gerade eine Fortschreitung, wenn die Matrix ihrer beiden in- 

 finitesimalen Transformationen mindestens eine für den Punkt {x^ . . a;„) 

 nicht verschwindende zweireihige Determinante enthält, u. s. w. Ist 

 bei der U enthaltenden Gruppe Xj/". . Xrf etwa: 



n 



1 * 



so ergiebt sich: Sie erteilt einem Punkte {x^ . . Xr) gerade q von einander 

 imabhängige Fortschreitungsriclitungen im Bn—i, sobald zivar alle (g + 2)- 

 reihigen, nicld aber alle (q + 1)- reihigen Determinanten der Matrix 



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für diesen PunJct verschwinden. Dementsprechend ist das TJieorem 29, 

 § 4 des 16. Kap., abzuändern, sobald die Gruppe in homogenen Punkt- 



coordinaten vorliegt und x^p^ ^ 1- XnPn schon mi ihren infinitesimalen 



Transformationen hinzugefügt worden ist. 



Wollte man x^p^ -\- ■ • -\- XnPn nicht hinzufügen, so könnte man 

 eben die Anzahl der von einander unabhängigen Fortschreitungs- 

 richtungen nicht ohne weiteres daraus entnehmen, wieviel -reihig die 

 grössten nicht-verschwindenden Determinanten der Matrix sind. 



§ 5. Einige Sätze über Gruppen und Untergruppen. 



Wir wollen in diesem Paragraphen eine Reihe von Sätzen zu- 

 sammenstellen, die wir zum Teil im nächsten Kapitel verwenden 



