Einige Sätze über Gruppen und Untergruppen. 535 



werden. Wir heben aber ausdrücklich hervor, dass im Übrigen die 

 Ergebnisse dieses Paragraphen künftig keine wesentliche Rolle spielen. 

 Solche Leser also, die das nächste Kapitel überschlagen wollen, können 

 auch den gegenwärtigen Paragraphen ohne besonderen Nachteil vorerst 

 übergehen. • 



Fassen wir zunächst, um den obigen Satz 19 auf nicht- projective^^^"PP;°^. 

 Gruppen anzuwenden, irgend eine solche r-gliedrige Gruppe XJ'..X,.fr^J^^^^^_ 

 oder Gr in beliebig vielen Veränderlichen x^ . . Xn ins Auge, bei der Setzung. 

 allgemein 



(31) (X,X,+,) = 2 ^'. '+^. sXJ 



(i= 1, 2 ..r— 1, Jc=l, 2..r — i) 



ist, sodass die Gruppe Gr eine (r — l)-gliedrige invariante Unter- 

 gruppe Gr-i, nämlich X^f . . Xr-if, ferner letztere eine in Gr-i in- 

 variante Untergruppe Gr—2, nämlich X^/". . Xr—^f u. s. w. enthält; 

 dass überhaupt XJ..Xjf für alle Werte j = 1, 2..r eine Gruppe 

 Gj erzeugen und dass diese Gruppe Gj in der nächst grösseren Gruppe 

 Gj-^i invariant ist. 



Die Gruppe Gr besitzt eine adjungierte Gruppe EJ\.Erf, bei 

 der nach Theorem 33, § 2 des 18. Kap. 



ist. Von den c^.^. sind jetzt nach (31) alle die, in denen Je grösser 

 oder gleich der grösseren der Zahlen ^ und v ist, gleich Null. Nach 

 dem angegebenen Theorem ist ferner: 



r 



(E^Ej) =^C;j.E,f (i, i = 1, 2 . . r). 

 1 



Daher bestehen auch bei der adjungierten Gruppe analog (31) Rela- 

 tionen von der Form 



i + i — 1 



(32) {EiEi^n) = 2 ^'' '■+'• '-^'f 



1 



(i = l, 2..r— 1, /^= 1, 2..r — 0- 



Aber EJ. . Erf sind linear und homogen in e^ . . Cr, daher projedive 

 Transformationen des Raumes der adjungierten Gruppe mit den liomo- 

 (jenen Puuktcoordinaten e^ . .er- Für die Gruppe Ei f. . Erf besteht 

 demnach der Satz 19 des vorigen Paragraphen. Denn es ist in der 

 That leicht einzusehen, dass die adjungierte Gruppe auch dann die 



