536 Kapitel 19, § 5. 



Voraussetzungen dieses Satzes erfüllt, wenn die Gruppe Xj/". . Xrf 

 ausgezeichnete infinitesimale Transformationen enthält und dement- 

 sprechend nach Theorem 33, § 2 des 18. Kap., unter den infinitesi- 

 malen Transformationen EJ. . Erf sich einige aus den vorangehenden 

 linear ableiten lassen. Werden nämlich diese Ekf einfach* gestrichen, 

 so erfüllen die übrig gebliebenen 



EJ,EJ..E.^f 



immer noch Relationen von der Form: 



i + A — 1 



i^'Ai+^) = ^ < i+k. sE./ (i = 1, 2 . . 9 - 1, Jc = l,2..Q-i). 



Es ergiebt sich also, dass die adjungierte Gruppe in ihrem Räume 

 (Cj : • • : er) stets' mindestens einen Punkt Mq, eine durch ihn gehende 

 Gerade M^, eine durch letztere gehende ebene Mannigfaltigkeit von 

 zwei Dimensionen M^ u. s. w. in Ruhe lässt. 



Aber nach § 3 des 18. Kap. stellt jede dieser invarianten ebenen 

 Mannigfaltigkeiten Mq, M^, M^ . . . eine invariante Untergruppe der 

 Gruppe X^f. . Xrf dar und zwar Mq eine eingliedrige, M^ eine diese 

 enthaltende zweigliedrige, M^ eine letztere enthaltende dreigliedrige 

 u. s. w. Die Gruppe Gr oder X^f. . Xrf besitzt also sicher eine 

 (r — l)-gliedrige invariante Untergruppe Gr~i, ferner eine (r — 2)- 

 gliedrige invariante Untergruppe Gr-2, die auch in Gr-i enthalten 

 ist, ferner eine (r — 3)-gliedrige invariante Untergruppe Grs, die 

 auch in Gr-2 enthalten ist, u. s. w. Man bemerke den Unterschied 

 gegenüber der früheren Voraussetzung: Grs war zwar Untergruppe 

 von Gr, aber nur in der Gruppe Gr-s+i invariante Untergruppe, wäh- 

 rend Gr-s in der ganzen Gruppe Gr invariant ist. Ist X^f die infini- 

 tesimale Transformation von G^, ferner X^f eine von Xi/ unabhängige 

 von G^ u. s. w., sodass allgemein Gr-s die Gruppe X^f. .Xr-sf ist, 

 so muss also jetzt jeder Klammerausdruck (XiZ,+i) aus XJ.. Xif 

 allein linear ableitbar sein, sodass Relationen bestehen von der Form 



i 



{XiXi+k) ^^f C,-, i+k, s Xsf 



1 



(i=l, 2..r— 1, k = l, 2 ..r — i), 



in denen die Summe für s sich nur über die Werte von 1 bis i er- 

 strecJct. 



Wir haben also gefunden: 



