Einige Sätze über Gruppen und Untergruppen. 537 



Theorem 35: Enthält eine r-gliedrige Gruppe r von einander 

 unabhängige infinitesimale Transformationen XJ'..Xrf, die Re- 

 lationen von der Form 



i-j-i— 1 



1 



{i=l,2..r-l, Jc=l,2..r — i) 

 erfüllen, so enthält sie auch r von einander unabhängige infini- 

 tesimale Transformationen X^f. . Xrf, die Belationen von der 

 Form 



(XjX,_(_i) EEE ^s Ci^ i + k, s Xsf 

 1 



{i=l,2 ..r—\, li = \,2. .r — i) 

 erfüllen. 



Anders ausgesprochen: Können die infinitesimalen Trans- 

 formationen X^f. , X,f einer r-gliedrigen Gruppe in solcher 

 Weise gewählt werden, dass X^f.. X,f jedesmal eine s-gliedrige 

 Untergruppe G^ erzeugen, die in der nächstgrösseren Unter- 

 gruppe Gs + i invariant ist, so giebt es immer r solche von ein- 

 ander unabhängige infinitesimale Transformationen Xif..Xrf 

 in der Gruppe, dass X^f..Xsf jedesmal eine s-gliedrige Unter- 

 gruppe Gs erzeugen, die in der ganzen r-gliedrigen Gruppe in- 

 variant ist; offenbar ist dann jede Gs in allen Gs+h invariant. 

 Man nennt derartige Gruppen aus Gründen, die liier nicht erörtert 

 werden sollen, inteqrabele Gruppen, alle anderen Gruppen ?iic/i^-m^e- i"tograbcie 

 grübele Gruppen*). 



Beispiel: Die viergliedrige Gruppe in x, y: Beispiel. 



G^: p q xq x^q 

 besitzt eine invariante dreigliedrige Untergruppe 



G-'ö- P (I xq, 

 die G^ hat eine invariante zweigliedrige Untergruppe 



G^: p q 

 und diese G.2 eine eingliedrige 



G,: p. 

 Aber G^ ist nicht in G^ und (r^ invariant, ebenso G^ nicht in G^. 



*) Den Begriff: integrabele Gruppe führte Lie in den Verh. d. Ges. d. 

 Wiss. zu Christiania 1874 ein; die Bezeichnung: integrabele Gruppe benutzte er 

 zum ersten Male in den Berichten der Ges. d. Wiss. zu Leipzig 1889. 



