538 Kapitel 19, § 5. 



Nach unserem Theorem muss es möglich sein, eine Reihe von Unter- 

 gruppen 6r3, (t2, Gl so auszuwählen, dass jede in allen vorhergehen- 

 den, 6r3 in G^ invariant ist. Solche sind in der That z. B.: 



G^: q xq x^q, 



G^: q xq, 



G^: q. 



Die allgemeinste Art einer derartigen Reihenfolge invarianter Unter- 

 gruppen ist leicht gefunden: Denn in der G^ ist q die einzige ein- 

 gliedrige invariante Untergruppe, ferner q, xq die allgemeinste zwei- 

 gliedrige und q, xq, ap-{-ßx^q die allgemeinste dreigliedrige invariante 

 Untergruppe. Also ist in allgemeinster Weise zu* setzen: 



G^: q xq ap -{- ßx^q, 

 G^: q xq, 

 G,: q. 



Beim Beweis des Theorems haben wir von der begrifflichen Deu- 

 tung der adjungierten Gruppe einer r-gliedrigen Gruppe Gr in einem 

 Räume Br—i Gebrauch gemacht. Man könnte diese Deutung über- 

 haupt zum Beweise vieler Sätze anwenden, die sich nicht nur auf die 

 integrabelen, sondern auf beliebige Gruppen und Untergruppen beziehen. 



Wir verlassen jetzt, indem wir solche Sätze aufstellen wollen, die 

 Betrachtung der integrabelen Gruppen. Erst nachher werden wir zu 

 diesen zurückkehren. 



Zunächst beweisen wir mit Hülfe der begrifflichen Deutung im 

 Räume der adjungierten Gruppe den folgenden 

 T^rT^zweTr" ^^^^ ^^ '• ^^^^ Transformationen, die in zwei Untergruppen einer 

 untergr. Qfiippe mglcicli enthalten sind, bilden für sich eine Untergruppe. 



Denn ist g die eine, g' die andere Untergruppe der Gr, so wird 

 g im Räume Br—i der adjungierten Gruppe der Gr durch eine ebene 

 Mannigfaltigkeit •^M, g' durch eine M' dargestellt. Alle Transforma- 

 tionen der adjungierten Gruppe der Gr, die von Punkten von M dar- 

 gestellt werden, lassen M invariant; alle, die von Punkten von M' 

 dargestellt werden, lassen M' invariant. (Vgl. § 3 des 18. Kap.) Es 

 mögen sich M und M' in der ebenen Mannigfaltigkeit m schneiden. 

 Alsdann führen alle Transformationen der adjungierten Gruppe, deren 

 Bildpunkte auf m liegen, alle Punkte von m aus dem einen Grunde 

 in solche von M, aus dem anderen in solche von M' über, also in 

 Punkte von m. m bleibt daher invariant bei allen den Transforma- 

 tionen der adjungierten Gruppe, deren Bildpunkte auf m liegen, sodass 



