emeiusame 

 zweier 



Einige Sätze über Gruppen und Untergruppen, 539 



also m eine Untergruppe der Gr darstellt und zwar diejenige, die alle 

 (j und g' gemeinsamen Transformationen enthält. 



Wir können den Satz übrigens auch anders nachweisen und noch 

 allgemeiner fassen: Es seien nämlich Sa . . die Transformationen einer 

 Gruppe, Tj . . . die einer zweiten Gruppe. Beide Gruppen mögen ge- 

 wisse Transformationen &c . . . gemein haben. Letztere bilden dann für 

 sich eine Gruppe, denn nach Voraussetzung ist die Aufeinanderfolge 

 &c&d sowohl einer Transformation S als auch einer Transformation T, 

 also einer Transformation & äquivalent: 



Satz 22 : Alle Transformationen, die sivci verschiedenen Gruppen*^^^"''^ 

 zugleich angehören, bilden für sich eine Gruppe. orui.pen. 



Dieser Satz gilt nicht nur für continuierliche Gruppen, die von 

 infinitesimalen Transformationen erzeugt werden, sondern offenbar für 

 alle Gruppen überhaupt, da er nur eine Folge der Gruppeneigenschaft 



TaT6=T, ist. 



Wir wollen noch einige Sätze auf ähnlichem Wege beweisen. 

 Dazu wollen wir den früheren Begriff: invariante Untergruppe imnmehr 

 so aussprechen, dass er auch für Gruppen einen Sinn hat, die nicht 

 von infinitesimalen Transformationen erzeugt sind: In § 3 des 18. Kap. 

 definierten wir als invariante Untergruppe X^^f . . Xsf einer Gruppe 

 Xif..Xrf eine solche Untergruppe X^f..Xsf, deren Bildmannig- 

 faltigkeit im Räume der adjungierten Gruppe bei allen infinitesimalen 

 Transformationen der adjungierten Gruppe invariant bleibt. Eine 

 solche Mannigfaltigkeit bleibt dann auch bei allen endlichen Trans- 

 formationen der adjungierten Gruppe in Ruhe, d. h. die invariante 

 Untergruppe X^f . . X^f geht bei Ausführung aller endlichen Transfor- 

 mationen der ganzen Gruppe X^f . . Xrf auf sie in sich über. Nach • 

 Satz 5, § 2 des 3. Kap., können wir daher den Begriff invariante 

 Untergruppe auch so fixieren (vgl. S. 530 oben): 



Enthält die Gruppe Ta . . . mit paarweis inversen Transformationen invarianto 

 die Untergruppe S/, . . ., und ist jede Aufeinanderfolge T^r^S^Ta wieder 

 einer Transformation S äquivalent, so heisst die Untergruppe So . . . eine 

 invariante Untergruppe der Gruppe Ta • ■ • . 



Diese Definition deckt sich, wie gesagt, mit der früheren, hat aber 

 auch für Gruppen, die nicht von infinitesimalen Transformationen er- 

 zeugt werden, einen bestimmten Sinn, sobald die Gruppen nur paar- 

 weis inverse Transformationen, also auch die identische, enthalten. 

 Wir ziehen sie vor, weil wir einige Sätze ableiten wollen, die auch 

 für nicht- continuierliche Gruppen gelten. 



Es seien T« . . . die Transformationen einer Gruppe, So . . . die 



