540 Kapitel 19, § 5. 



einer Untergruppe, ©c • • • die einer zweiten, insbesondere invarianten 

 Untergruppe der Gruppe T« • • •• Ferner mögen 27^... die den Untergruppen 

 Sb . . . und &c . . . gemeinsamen Transformationen sein, die nach unseren 

 Sätzen für sich eine Gruppe darstellen. Nach Voraussetzung ist nun 

 Sb~^2^dSb einem S äquivalent, als Aufeinanderfolge dreier Transfor- 

 mationen der Gruppe Sb • • • - Andererseits ist, da 2Ja der invarianten 

 Untergruppe ©c • • • angehört, die Aufeinanderfolge Sb~^Z!dSb wie all- 

 gemein die Aufeinanderfolge Ta~^&cTa überhaupt einem ® äquivalent. 

 Daher ist Sb~^2JaSb einer Transformation äquivalent, die beiden Unter- 

 gruppen Sb . . . und ®o ' • ' angehört, also einem U. D. h. die 2J bilden 

 nach obiger Definition eine invariante Untergruppe der Gruppe 5ö • • • . 

 ^M^ ^mT* ^^^^ ^^ • ^^^^ Transformationen, die einer Untergruppe g und einer 

 ^'i^l^l '^' i'^^varianten Untergruppe y einer gegebenen Gruppe zugleich angehören, 



uutorgr. jfiidßfi fiir sicJi eine invariante Untergruppe der Gruppe g. 



Beispiele. 1. Beispiel: Die Gruppe 



q xcj p xp -\- {2y -f- x^)q 



besitzt die invariante Untergruppe 



q xq p. 

 Ferner ist 



q xq xp + (2ij -f- x^)q 



eine (nicht-invariante) Untergruppe. Mithin ist q, xq eine invariante 

 Untergruppe der letzteren. 



3. Beispiel: Eine dreigliedrige Untergruppe der Gruppe 

 q p xp yq 



ist invariant, sobald sie q und p enthält. Ferner ist p, xp, yq eine 

 Untei'gruppe. Daher bilden die gemeinsamen Transformationen von 



und 



p xp yq 

 q p Ixp + iiyq 



eine invariante Untergruppe der ersteren, d. h. in ^, xp, yq ist 

 p, Ixp -\- ^yq für alle Werte von A : [i invariant. 



Der Satz 23 Hesse sich auch durch Betrachtungen im Räume der 

 adjungierten Gruppe darthuu, ähnlich wie Satz 21. Wir überlassen 

 dies jedoch dem Leser. 



Nehmen wir an, beide Untergruppen Sb . . . und @c . . . der Gruppe 

 Ta . . . seien invariante Untergruppen , während Ua • ■ • die den beiden 

 Untergruppen gemeinsame Untergruppe darstellen sollen. Alsdann ist 

 TaT'^SdTa sowohl einer Transformation ^6 als auch einer Transforma- 

 tion ®c äquivalent, weil Za sowohl zu den S als zu den ® gehört. 



