Einige Sätze über Gruppen und Untergruppen. 541 



Demnach ist Ta~^Z:,iTa wieder einem der Z! äquivalent, d. h. die 2J 

 bilden eine invariante Untergruppe der ganzen Gruppe Ta ■ • ■ . 



Satz 24: Alle Transformationen, die sivci invarianten Unter-^f^^i^^P^° 

 gritppen einer Gruppe G zugleich angehören, bilden für sich eine ^'jj.inv.untergr. 

 Variante Untergruppe der Gruppe G. 



Beispiel: In der Gruppe p, q, r, zq erzeugt q mit irgend zwei Beispiel. 

 anderen infinitesimalen Transformationen der Gruppe stets eine drei- 

 gliedrige invariante Untergruppe, weil q die erste deri vierte Gruppe 

 ist. Daher erzeugt auch q mit jeder infinitesimalen Transformation 

 der Gruppe eine zweigliedrige invariante Untergruppe. 



Nehmen wir jetzt an, zwei invariante Untergruppen S/, . . . und 

 @c . . . der Gruppe Ta . . ■ haben gar keine Transformationen gemein, 

 natürlich ausser der identischen. Alsdann ist zunächst SiT^ScS/, äqui- 

 valent einer Transformation &d- 



Sr'&cS, = Sa, 



daher: 



Sb tritt links wie rechts auf. Da nun beide Gruppen >S^^ . , . und @c- ■ • 

 gleichartig definiert sind, so gilt analog eine solche Formel: 



in der ®c beiderseits auftritt. Aus beiden Formeln folgt: 



Sb&d = Se@c 



oder 



Da Se~^Sb einer Transformation der einen, &c®,~^ einer der andern 

 Untergruppe äquivalent ist, da jedoch beide Untergruppen keine Trans- 

 formation ausser der identischen gemein haben, so folgt: 



Sr'Sb = ®c®,r' = l, 



also: 



und die obige Formel ®cSi, = Sb®d liefert: 



®cSb = So®c- 



Das Ergebnis ist also: 



Satz 25: Haben ztvei invariante üntergrujmen einer öeoe&cwm i"^- unur- 



^ ^^ ^ ^ gruppen 



Gruppe keine Transformation ausser der identischen gemein, so sind die «'»»e gem. 



^^ ' , Transform. 



Transformationen der einen Untergruppe mit denen der anderen Unter- 

 gruppe vertauschbar. 



Wir können auch so sagen: 



Satz 26: Enthält eine r-gliedrige Gruppe X^f. . Xrf zwei invariante 

 Untergruppen Y^f..Ysf und Zif..Zaf und haben diese Untergruppen 



