542 Kapitel 19, § 5. 



keine infinitesimale Transformation gemein, so sind die Transformationen 

 der einen mit denen der anderen Untergruppe vertauscJibar. 



In dieser Formulierung deckt sich der Satz zwar nicht völlig mit 

 dem vorigen; er kann aber sofort so bevriesen werden: Nach Voraus- 

 setzung und nach der Definition der invarianten Untergruppen in § 3 

 des 18. Kap. ist jeder Klammerausdruck {YjXk) linear aus Yyf..Y,f 

 allein ableitbar, also auch (YiZi). Dieser Ausdruck ist aber aus den- 

 selben Gründen linear aus Zj/". . Z^/" allein ableitbar, also ist er, da 

 beide Untergruppen Y^f . . Ysf und ZJ'..Zof keine infinitesimale 

 Transformation gemein haben sollen, gleich Null. Dies aber führt 

 nach Satz 6, § 2 des 17. Kap., zu dem ausgesprochenen Ergebnis. 



inv'Vnter- ^^^ wollcn uoch einen Specialfall des Satzes 23 aufstellen, der 

 gnippo. gjjj hervorragendes Interesse besitzt: Die adjungierte Gruppe Eyf.Erf 

 in e^. . er einer gegebenen r-gliedrigen Gruppe X^f.Xrf ist als Unter- 

 gruppe in der allgemeinen linearen homogenen Gruppe in e^ . . er 



e,jf^ (i, k==l, 2..r) 



enthalten. Nun aber ist die specielle lineare homogene Gruppe 



df ,; I .X df df 



(i, Jc=l, 2 ..r) 



eine invariante Untergruppe der allgemeinen linearen homogenen 

 Gruppe in c^ . . Cr. Man kann dies durch Bildung der Klammeraus- 

 drücke direct einsehen, es folgt aber auch sofort aus der Formel 

 z/c = z/a^6 des Satzes 1, § 1. Nach Satz 23 erzeugen folglich alle 

 . Transformationen der adjungierten Gruppe, die der speciellen linearen 

 homogenen Gruppe angehören, eine invariante Untergruppe der ad- 

 jungierten Gruppe. Jeder infinitesimalen Transformation HsvEyf 

 der adjungierten Gruppe entspricht eine infinitesimale Transformation 

 EsyXvf der gegebenen Gruppe derartig, dass die Klammerausdrücke 

 der ersteren sich durch die ersteren ebenso ausdrücken, wie die der 

 letzteren durch die letzteren, nach Theorem 33, § 2 des 18. Kap. Also 

 werden auch diejenigen infinitesimalen Transformationen UsyXvf der 

 Gruppe X^f. . Xrf eine invariante Untergruppe dieser Gruppe bilden, 

 deren zugehörige UsvErf der speciellen linearen homogenen Gruppe in 

 e^ . . er angehören. Es ist aber 



Er f = ^tc ^/ii C^, vk Cf, 



K 



de. 



