Einige Sätze über Gruppen und Untergruppen. 543 



Daher gehört ZsvEyf dann der speciellen linearen homogenen Gruppe 

 nach Formel (6) in § 1 des jetzigen Kap. an, wenn s^ . . Sr die einzige 

 Bedingung erfüllen : 



r r r 



«1 2 ^^^^ + ^2^^ Cm- + • • + ^ryl Ckrk = 0. 

 11 1 



Da jedes Cjks = — Ckis ist, so können wir das Ergebnis auch in etwas 

 anderer Weise so ausdrücken: 



Satz 27: Ist X^f.. Xrf eine r-gliedrige Gruppe und daher etwa 



r 



(X,Z,) =^ Ca.X/ (i, Ä: = 1, 2 . . r), 

 1 



so erzeugen alle diejenigen infinitesimalen Transformationen «iX^/H 1- SrXrf, 



für die 



r r r 



1 1 1 



ist, eine invariante Untergruppe. Biese Untergruppe ist entweder (r — 1)- 

 gliedrig oder aber sie fällt mit der ganzen Gruppe X^f . . Xrf zusammen. 



Letzteres tritt ein, wenn einzeln alle ^s c^ss verschwinden. 



Wir werden noch einige Sätze über invariante Untergruppen ent- 

 wickeln : 



Nehmen wir an, die erste derivierte Gruppe einer vorgelegten 

 r-gliedrigen Gruppe sei weniger als r-gliedrig, etwa nur g-gliedrig 

 {q<r). Alsdann können wir r von einander unabhängige infinitesi- 

 male Transformationen X^f..Xqf der Gruppe so auswählen, dass 

 X^f. . Xqf die erste derivierte Gruppe darstellen und also jeder 

 Klammerausdruck (XiXk) linear aus Xj/". . X^f allein ableitbar ist. 

 Es folgt dies direct aus der am Schluss des § 3 des 18. Kap. ge- 

 gebenen Definition der ersten derivierten Gruppe. Es leuchtet ein, 

 dass X^f. . Xqf mit beliebig vielen infinitesimalen Transformationen 



Const. X,+if -{ h Const. Xrf 



zusammen stets eine Untergruppe der ganzen r-gliedrigen Gruppe 

 Xif. .Xrf und zwar eine invariante Untergruppe darstellen. 



Es möge nun andererseits eine vorgelegte r-gliedrige Gruppe 

 X^f.. Xrf eine {r — l)-gliedrige invariante Untergruppe enthalten. 

 Alsdann dürfen wir annehmen, dass Xj/". . Xr-i/* gerade diese in- 

 variante Untergruppe darstellen, also alle Klammerausdrücke • aller Xf 

 mit diesen r — 1 Svmbolen Xf linear aus diesen r — 1 allein ableit- 



