544 Kapitel 19, § 5. 



bar sind. Aber zu diesen Klammerausdrücken gehört ja, jeder Klammer- 

 ausdruck (XiXj,). Also enthält die vorausgesetzte (r — l)-gliedrige 

 invariante Untergruppe auch die erste derivierte Gruppe und ist unter 

 Umständen, nämlich wenn letztere auch gerade (r — l)-gliedrig ist, 

 mit ihr identisch. 



Unsere beiden Betrachtungen geben zusammen die Sätze: 

 inv"üntefr ^^^^ ^^ " Enthält clnc r-gliedrige Gruppe keine (r — \)-glicdrige 

 "'Gru '^ e^'' ^'^'^0,'^'^C''^^^ Untergruppe, so ist sie ihre eigene erste derivierte Gruppe. 



Satz 29: Eine r-gliedrige Gruppe X^f..Xrf enthält dann und 

 nur dann (r — \)-gliedrige invariante Untergruppen, tvenn sie nicht ihre 

 eigene erste derivierte Gruppe ist. Jede solche Untergruppe wird dadurch 

 gebildet, dass man zu den Klammerausdrüclcen (XjXj,) noch so viele in- 

 finitesimale Transfortnationen U Const. Xf der Gruppe beliebig hinzufügt, 

 dass man gerade r — 1 von einander unabhängige infinitesimale Trans- 

 formationen erhält. (Vgl. S. 488 oben.) 



Eine Gruppe, die ihre eigene erste derivierte Gruppe ist, bezeich- 

 Perfecte jjen wir als eine perfeete Gruppe. Eine früher, zum Schluss des § 3 

 des 18. Kap, gemachte Bemerkung können wir offenbar nun so aus- 

 sprechen : 



Satz 30 : Eine einfache Gruppe ist stets perfect. 

 Dass das Umgekehrte aber nicht gilt, haben wir schon damals 

 hervorgehoben und durch ein Beispiel erläutert. 



Wir wollen noch ein Beispiel zu Satz 29 geben: 

 Beispiel Beispiel: Bei der Gruppe 



p q xq xp -f- yq 

 lautet die erste derivierte Gruppe: 



p q. 



Dies ist also eine zweigliedrige invariante Untergruppe, wohlbemerkt 

 aber nicht die einzige, denn auch q xq ist eine. Jede dreigliedrige 

 invariante Untergruppe aber ergiebt sich, wenn man zu p, q irgend 

 eine infinitesimale Transformation der Gruppe hinzufügt, hat also 

 die Form 



p q lxq-]r i»'{xp-\-yq). 



Wir reihen hier den Satz an: 

 Invariante Satz 31: Enthält eine r-qliedriqe Gruppe Gr eine nicht -invariante 



einer (y — X) - glicdrigc Untergruppe Gr—i, so besitzt diese Gr—i eine invariante 

 Untergr. Qr — 2)-gliedrige Untergruppe Gr—2. 



Zunächst geben wir einen analytischen Beweis: Die Gruppe Gr—i 

 sei durch X^f. . X,.—if dargestellt. Eine r*® infinitesimale Transfor- 



