Einige Sätze über Gruppen und Untergruppen. 545 



matioii der Gruppe Gr wollen wir zur Untersaheidung mit Yf be- 

 zeichnen. Dann bestehen Relationen von der Form 



(X.X,) = 2;Const.X/; (XiY)^ ZConst.Xf+ aiYf 

 (i, Tc=l, 2..r—l). 



Hier sind nicht alle Constanten «i gleich Null, weil sonst gegen 

 Voraussetzung Gr—i eine invariante Untergruppe von Gr wäre. Ist 



etwa Kr—i =1= 0, so können wir X,- Xr—if als neues X,/" und 



"r — 1 



Xr—if als neues Xr—if benutzen. Dadurch erhalten wir: 



(X,X,) = 2;Const. Xf, (XiY) = 2:Const. Xf {i <r — 1), 

 {Xr-iY) E£E 2;Const.X/'+ Yf. 



Verstehen wir unter i, k zwei der Zahlen 1, 2 . . r — 2, so sind in 

 der Identität 



((x,-x,)F) + ((x,r)X,) + ((rx,)x,) = o 



nach der Ausrechnung die beiden letzten Glieder frei von Yf Das 

 erste ist es aber nur dann, wenn (XjXi) frei von Xr—if ist. Es ist 

 somit jeder Klammerausdruck (X,Xjt) frei von Xr—if, mit anderen 

 Worten: X^f. . Xr—^f bilden für sich eine (r — 2)-gliedrige Gruppe. 

 Die Identität: 



((X,x._x)r) + ((x,_ir)x,) + ((rx,)x,_o = o 



ergiebt ferner, dass (X,Xr_i) von Xr—if frei ist. Die (r — 2)-glie- 

 drige Gruppe ist folglich eine invariante Untergruppe von X^f.Xr—if 



Wir wollen den Beweis für den Fall, dass r = 4 ist, auch be- 

 grifflich durchführen und bemerken vorweg, dass diese Betrachtung 

 sich ohne weiteres auf ein beliebig grosses r verallgemeinern lässt. 



Im Räume M.^ der adjungierten Gruppe der gegebenen Gruppe 

 G^ wird die vorausgesetzte nicht-invariante dreigliedrige Untergruppe 

 ög durch eine Ebene E dargestellt. Diese Ebene geht bei solchen 

 infinitesimalen Transformationen der adjungierten Gruppe, deren Bild- 

 punkte in ihr liegen, in sich über. Da die adjungierte Gruppe höch- 

 stens viergliedrig ist, die Ebene E aber durch drei Punkte bestimmt 

 wird, so folgt, dass höchstens eine infinitesimale Transformation der 

 adjungierten Gruppe die Ebene E in eine neue Lage überführen 

 könnte; andererseits muss es auch mindestens eine sein, da sonst E 

 völlig invariant, d. h. G^ eine invariante Untergruppe der G^ wäre. 

 Durch fortwährende Ausführung aller Transformationen der adjungier- 

 ten Gruppe nimmt also die Ebene E oo^ Lagen an, die eine con- 

 tinuierliche Schar bilden und eine developpabele Fläche umhüllen oder 



Ijio, Continuierliche Gruppen. ,']5 



