546 Kapitel 19, § 5. 



aber ein Ebenenbüschel sind. Im letzteren Falle ist die Axe des 

 Büschels bei der adjungierten Gruppe invariant, stellt also eine in- 

 variante zweigliedrige Untergruppe der G^^ dar, die in G^ enthalten 

 und also auch in.G^ invariant ist. Damit ist der Satz für diesen 

 Fall bev^iesen. Im ersteren Falle nun bleibt die developpabele Fläche 

 bei der adjungierten Gruppe in Ruhe, also insbesondere bei allen den 

 infinitesimalen Transformationen der adjungierten Gruppe, deren Bild- 

 punkte in der Ebene E liegen. Bei diesen bleibt aber auch die Ebene 

 E in Ruhe, mithin auch die der Ebene E und der developpabelen 

 Fläche gemeinsame Gerade. Diese infinitesimalen Transformationen 

 aber transformieren die Punkte von E genau so wie die infinitesima- 

 len Transformationen der adjungierten Gruppe der G^. Die invariante 

 Gerade stellt somit eine invariante zweigliedrige Untergruppe der G^ 

 dar. Also ist der Satz auch in diesem Falle bewiesen. 



Veraiige- Diese begriffliche Betrachtung lässt sich noch verallgemeinern, nicht 



meiuerung. ^^^^ ^.^ schon gcsagt, auf beliebig grosses r, sondern noch in anderer 

 Weise : 



Betrachten wir eine r-gliedrige Gruppe G-r, die eine {r — g)-gliedrige 

 Untergruppe Gr—q enthalten möge, welch' letztere aber in keiner grösseren 

 Untergruppe der Gruppe Gr enthalten und auch keine invariante Unter- 

 gruppe der ganzen Gruppe Gr sein soll. Im Räume Br—i der ad- 

 jungierten Gruppe der Gr wird die Gr—q durch eine {r — q — l)fach aus- 

 gedehnte ebene Mannigfaltigkeit M dargestellt. Diese M bleibt bei den 

 infinitesimalen Transformationen der adjungierten Gruppe der Gr in Ruhe, 

 die durch die Punkte der M dargestellt werden. Mithin giebt es höch- 

 stens r — (r — q) = q von einander unabhängige infinitesimale Transfor- 

 mationen der adjungierten Gruppe, die 31 in neue Lagen bringen. An- 

 dererseits sicher soviele, da sonst die Gr — q invariante Untergruppe 

 einer grösseren Untergruppe der Gr—q wäre. Die Mannigfaltigkeit M wird 

 mithin in oo? ebene Mannigfaltigkeiten M' übergeführt. Daraus, dass 

 vorausgesetzt wurde, dass die Gr—q in keiner grösseren Untergruppe der 

 Gr enthalten ist, kann man, worauf wir nicht weiter eingehen, schliessen, 

 dass diese oo« M' so im Räume Rr—i verteilt sind, dass sie ein Um- 

 hüllungsgebilde besitzen, das nicht mit dem ganzen Rr—i zusammenfällt. 

 Dieses Umhüllungsgebilde bleibt selbstverständlich bei der adjungierten 

 Gruppe der Gr invariant. Jene Mannigfaltigkeit M hat mit dem Um- 

 hüllungsgebilde eine ebene oder krumme Mannigfaltigkeit m gemein, wenn 

 sie nicht ganz im Umhüllungsgebilde enthalten ist. Es ist nun klar, 

 dass diese Mannigfaltigkeit m bei den infinitesimalen Transformationen der 

 adjungierten Gruppe der Gr in Ruhe bleibt, deren Bildpunkte in 3£ ge- . 

 legen sind. Denn sie lassen M und jenes Umhüllungsgebilde, mithin die 

 beiden gemeinsame Mannigfaltigkeit m in Ruhe, Letztere stellt daher eine 

 gewisse invariante Schar von infinitesimalen Transformationen der Gruppe 

 Gr—q dar. 



Diese Schlussfolgerung wird jedoch hinfällig, wenn das Umhüllungs- 



