Einige Sätze über Gruppen und Untergruppen. 547 



gebilde jene Mannigfaltigkeit M vollständig enthält. Dann wird die Scbar 

 zur Gi-uppe Gr—g selbst, und das Ergebnis ist trivial. Dieser Aus- 

 nahmefall tritt sicher dann nicht ein, wenn jene 00*? ebenen Mannigfaltig- 

 keiten ilf', die aus M durch Ausführung der adjungierten Gruppe von Gr 

 hervorgehen, den ganzen Raum Br—i dieser adjungierten Gruppe erfüllen, 

 denn alsdann würde das Umhüllungsgebilde nur dann alle jene oo« ebenen 

 Mannigfaltigkeiten enthalten, wenn es der ganze Br — i wäre, was aus- 

 geschlossen ist. Wir können, wenn wir dies gruppentheoretisch ausdrücken, 

 das Ergebnis also so formulieren: 



Satz 32 : Enthält eine r-gliedrige Gruppe Gr eine nicht invariante 

 Untergruppe Gr—q, die in keiner grösseren Untergruppe der Gr enthalten ist, 

 so giebt es 00? mit Gr—q innerhalb Gr gleichberechtigte Untergruppen. Ge- 

 hört nun jede infinitesimale Transformation der Gr einer dieser Untergruppen 

 an, so enthält jede dieser Untergruppen eine invariante Schar von infinitesi- 

 malen Transformationen, die, wenn sie linear ist, eine invariante Untergruppe 

 darstellt. 



Wenn übrigens die M' nicht den ganzen Raum Rr—i erfüllen, so 

 kann es doch vorkommen, dass ihr ümhüllungsgebilde M selbst nicht voll- 

 ständig enthält, sodass auch dann Gr—q eine invariante Schar von infini- 

 tesimalen Transformationen enthält. 



Wir kehren zur Betrachtung der integrabelen Gruppen zurück. Sätze über 



-p-, .,, •• 1 1 1 integrabele 



hiS gut zunächst der Gruppen. 



Satz 33: Ist die erste derivierte Gruppe einer Gruppe integrabel, 

 so ist auch die letztere Gruppe selbst integrabel. 



Die erste derivierte Gruppe der Gruppe X^f. . Xrf kann nämlich 

 nach ihrer Definition, vgl. Schluss des § 3 des 18. Kap., entweder die 

 gegebene Gruppe selbst sein, und dann ist der Satz trivial. Oder aber 

 die erste derivierte Gruppe der Gruppe X-^f . . Xrf ist nur g'-gliedrig 

 (g<r), sagen wir etwa die Gruppe X^f-.Xqf. Diese soll nach 

 Voraussetzung integrabel sein. Wir dürfen annehmen, dass ihre in- 

 finitesimalen Transformationen schon so ausgewählt sind, dass Xj/l.X^;/" 

 für Q == 1, 2 , . q — 1 stets eine in X-^f. . X^+if invariante Unter- 

 gruppe darstellen. Alsdann erzeugen X^f. . Xq^if eine Gruppe, da 

 ihre Klammerausdrücke aus X^f. . Xqf allein linear ableitbar sind. 

 Nach § 3 des 18. Kap. ist überdies X-^^f. . Xqf eine invariante 

 Untergruppe der Gruppe Xif..Xq^if. Ebenso bilden X^f..Xq^zf 

 eine Gruppe, in der die Gruppe X^f..Xqf und auch die Gruppe 

 X^f. . Xq^if invariant ist u. s. f. Wir sehen also, dass die ganze 

 Gruppe X-^f . . Xrf so beschafien ist, dass stets X■^^f . . X^f für 

 () = 1, 2 . . r — 1 eine in X^f . . X^+if invariante Untergruppe bilden. 

 Die ganze Gruppe ist also integrabel. 



Nun folgt sofort: 



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