548 Kapitel 19, § 5. 



Satz 34 : Eine r-gliedrige Gruppe ist dann und nur dann integrahel, 

 wenn ihre r*^ derivierte Gruppe sich auf die Identität reduciert. 



Liegt nämlich zunächst eine integrabele Gruppe vor, so lassen 

 sich ihre infinitesimalen Transformationen X^f. . Xrf nach ihrer Defini- 

 tion so auswählen, dass 



t -j-t- 1 



(XiXiJ^T^ EE ^ d^ i + jc, ,Xsf 

 1 



(^• = 1, 2 . . r — 1, Jc=l, 2..r — i) 



wird. Hier ist die erste derivierte Gruppe entweder X^f..Xr—\f 

 selbst oder in letzterer enthalten. Die zweite derivierte Gruppe ist in 

 Xif..Xr—2f enthalten u. s. w., schliesslich die (r — 1)*^ ist X^f selbst 

 oder die Identität, die r*® daher sicher bloss die Identität. 



Liegt umgekehrt eine r-gliedrige Gruppe vor, deren r*^ derivierte 

 Gruppe die Identität ist, so ist die (r — 1)*« derivierte Gruppe nach 

 Satz 33 integrahel, also nach demselben Satze auch die (r — 2)*® 

 derivierte Gruppe u. s. f., schliesslich die erste derivierte Gruppe, also 

 auch die gegebene Gruppe selbst. 



Hieraus folgt weiter: 



Satz 35: Jede Untergruppe einer integrabelen Gruppe ist ebenfalls 

 integrahel. 



Denn bei der successiven Bildung der ersten, zweiten u. s. w. deri- 

 vierten Gruppe der in Frage stehenden Untergruppe, die etwa g-gliedrig 

 sei, wird entweder die Gliederzahl fortwährend kleiner oder nicht. Im 

 ersteren Fall ist die q^^ derivierte Gruppe die Identität, die Unter- 

 gruppe also nach Satz 34 integrabel. Im letzteren Fall dagegen be- 

 sitzt sie eine gewisse derivierte Gruppe, sagen wir X^f . . X(,f {q < q), 

 die ihre eigene erste derivierte Gruppe ist. Alsdann aber leuchtet es 

 ein, dass bei der ganzen vorgelegten Gruppe, die r-gliedrig sein möge, 

 die y*« derivierte Gruppe nicht die Identität allein sein kann, da sich 

 X^f. . Xaf bei der Klammerbildung sämtlich beständig reproducieren. 

 Die ganze r-gliedrige Gruppe muss also nach Satz 34 nicht -integrabel 

 sein. Dies aber widerspricht der Voraussetzung. 



Wir wollen zum Schluss noch eine nützliche allgemeinere Be- 



merkung anfügen, die wir als unmittelbar evident hinstellen: 



ind??duen Wenn eine Gruppe eines Raumes (x^ . . x») mit den Transforma- 



"'schM ""■ ^^^°®° Ta. . . eine continuierliche Schar von Punkten, Curven oder 



anderen Mannigfaltigkeiten invariant lässt, so transformiert sie die 



einzelnen Individuen der Schar unter einander durch eine Gruppe von 



