Einige Sätze über Gruppen und Untergruppen. 549 



Traüsformatioueu Sa.-., die zu den Transformationen Ta in der Be- 

 ziehung stehen, dass, sobald 



TaT,= T, 

 ist, auch 



ist. Hierbei ist es natürlich sehr gut denkbar, dass einige oder alle 

 S sich auf die Identität reducieren, obgleich die ursprünglichen zu- 

 gehörigen T wirkliche Transformationen des Raumes (x^ . . x,^ dar- 

 stellen. Denn sobald eine Transformation T alle Individuen der Schar 

 einzeln in Ruhe lässt, muss die zugehörige Transformation S die Iden- 

 tität sein. 



Die neue Gruppe Sa . . . ist, wenn wir eine früher (z. ß. in § 4 

 des 5. Kap.) eingeführte Redeweise benutzen, isomorph auf die Gruppe 

 Ta . . . bezogen. Also sagen wir: 



Satz 36 : Lässt eine Gruppe von Transformationen Ta . . . eines 

 Raumes {x^ . . Xn) eine Schar von oo^ Mannif/faltigkeiten invariant, die 

 von q Parametern y^. .y^ abhängen, so ist die Gruppe Sa . ■ . der Para- 

 meter y^,. .y, isomorph auf die ursprüngliche Gruppe hesogen, d. h. mit 



J-aJ-O = -^0 



ist stets auch 



SaSb = Sc. 



Wir haben zum Schluss des § 4 des 5. Kap. ein Beispiel hierfür 

 gegeben. Ein anderes Beispiel ist dieses: 



Beispiel: Die allgemeine Gruppe aller Bewegungen des Raumes Beispiel. 



{x, y, z): 



p q r sq — yr xr — sp yp — xq 



bleibt der imaginäre Kugelkreis, der Schnittkreis der unendlich fernen 

 Ebene mit der Nullkugel 



^2 ^ ^2 _|_ .2 _ 



invariant. Die Punkte dieses Kreises werden also unter einander trans- 

 formiert und zwar vermöge einer isomorphen Gruppe. Wir können 



als Coordinate jener oo^ Punkte etwa j = - benutzen. Alsdann lauten 



die betreffenden infinitesimalen Transformationen für diese Punkte, für 



die X, y, z unendlich und J^ + (f ) +1=0 ist, so : 



0, 0, 0, /j/r+"j^^, -(i-i-j:^)p, ij/rri'p. 



