550 Kapitel 19, § 5. Kapitel 20, § i. 



Die Klammerausdrücke dieser unter einander drücken sich genau so 

 linear durch diese sechs infinitesimalen Transformationen aus, wie die 

 Klammerausdrücke bei der obigen Gruppe durch die obigen infinite- 

 simalen Transformationen. 



Kapitel 20. 

 Uutersuchuugeii über die Zusammeusetzuug der i'-gliedrigen Gruppen. 



Bei allen Anwendungen der Theorie der endlichen continuierlichen 

 Gruppen auf die Theorie der Differentialgleichungen und verwandte 

 Gebiete spielt die Zusammensetsung der auftretenden Transformations- 

 gruppen eine besonders wichtige Rolle, ebenso wie in Galois' Theorie 

 der algebraischen Gleichungen die Zusammensetzung der zugehörigen 

 Substitutionsgvu]^pen. Es besitzen daher alle Untersuchungen über die 

 Zusammensetzung der endlichen Transformationsgruppen eine beson- 

 dere Bedeutung. Wir geben in diesem Kapitel eine knappe Übersicht 

 über die einfachsten und wichtigsten Ergebnisse auf diesem Gebiete. 

 Dabei werden wir vielfach mit räumlichen Anschauungen operieren, 

 ebenso wie es in den früheren Untersuchungen über die adjungierte 

 Gruppe geschah. 



Wir beginnen mit der Bestimmung aller zweigliedrigen Unter- 

 gruppen, denen eine gegebene infinitesimale Transformation einer vor- 

 gelegten r-gliedrigen Gruppe angehört. Diese Untersuchung führt zur 

 Aufstellung einer gewissen algebraischen Gleichung r^^^ Grades, die 

 sehr wichtig ist. Hieran schliesst sich die Bestimmung aller drei- 

 gliedrigen Untergruppen einer gegebenen Gruppe, indem gezeigt wird, 

 dass jede infinitesimale Transformation einer mehr als dreigliedrigen 

 Gruppe in einer dreigliedrigen Untergruppe enthalten ist. 



Darauf kommen wir zur Bestimmung der Zusammensetzungen aller 

 zweigliedrigen, aller dreigliedrigen und aller viergliedrigen Gruppen. 

 Wir haben früher erkannt, dass dies ein rein algebraisches Problem 

 ist, denn alle Zusammensetzungen von r-gliedrigen Gruppen werden 

 bestimmt durch Constanten C/h (i, lc,l='i, 2..r), die den Be- 

 dingungen 



Ciki + Ckii = 0, 



r 



Xf (^''-kiCslt + CkisCsit -{- CiisCskt) = 

 1 



(i. Je, l, t= 1, 2 ..r) 



