Zwei- und dreigliedrige Untergruppen gegebener Gruppen. 551 



genügen — infolge des dritten Fundamentalsatzes, von dem wir aber 

 nur die erste leichter zu beweisende Hälfte brauchen werden. (Vgl. 

 § 4 des 15. Kap.) Dies algebraische Problem wird nun für r = 2, 3, 4 

 vollständig erledigt werden. 



Schliesslich werden noch einige allgemeinere Resultate abgeleitet 

 oder zum Teil nur angegeben*). 



§ 1. Zwei- und dreigliedrige Untergruppen gegebener Gruppen. 



Indem wir versuchen wollen, alle zweigliedrigen Untergruppen 

 einer gegebenen r-gliedrigen Gruppe XJ..Xrfz\i bestimmen, denen 

 eine vorgelegte infinitesimale Transformation dieser Gruppe angehört, 

 finden wir es zunächst zweckmässig, uns die gegebene r-gliedrige 

 Gruppe auf eine solche Form XJ. . Xrf gebracht zu denken, dass die 

 vorgelegte infinitesimale Transformation der Gruppe gerade XJ ist. 

 Wir setzen dabei voraus, dass die in den cJiaraJdenstischcn Bclationen chai. -rcui 



(Z;X,) =^ CasXJ (^, Ä; = 1, 2 . . r) 

 1 

 auftretenden Constanten dk,, die wir charakteristische Constanten oderchar. coust. 

 Ziisammensetzungscoefficienten nennen, gegeben seien. 



Unser Problem soll also dieses sein: Man soll eine infinitesimale i'roWem. 

 Transformation 



(«,. = Const.) der Gruppe derart auswählen, dass sie mit XJ eine 

 zweigliedrige Gruppe erzeugt. Natürlich darf a^ ohne weiteres gleich 

 Null gesetzt werden, da die gesuchte Gruppe X^^f selbst enthält. 



*) Lie's Untersuchungen über Transformationsgruppen wurden ursprünglich 

 dadurch veranlasst, das3 er (im Jahre 1872) erkannte, dass es für die Theorie der 

 Differentialgleichungen ausserordentlich wichtig ist, den Begriff: Zusammensetzung 

 einer discontinuierlichen Gruppe auf continuierliche Gruppen zu übertragen. Dies 

 führte ihn zu den Fundamentalsätzen. In seinen älteren Untersuchungen trat 

 daher der Begriff Zusammensetzung stark hervor. In den Jahren 1878—84 jedoch 

 versuchte er aus pädagogischen Rücksichten den Begriff: adjungierte Gruppe, 

 soweit möglich, zu vermeiden oder wenigstens nur rechnerisch zu verwerten, 

 wenn er auch seine Entdeckungen über die Zusammensetzung kurz angab. 

 Explicite führte er den Begriff: adjungierte Gruppe zuerst 1884 ein (siehe Verb, 

 d. Ges. d. Wiss. zu Christiania Nr. 15, S. 3). Die Kapitel 18, 19, 20 dieses Werkes 

 enthalten einige unter seinen wichtigsten Ergebnissen, die aus der Zeit vor 1884 

 herrühren. Eine vollständige Darstellung dieser seiner Untersuchungen findet 

 sich im dritten Abschnitt seiner Theorie der Transformationsgruppen, bearb. unter 

 Mitw. von Engel. 



