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•Kapitel 20, § 1. 



D((>) = 0. 



Es handelt sich somit nach dem Hauptsatze darum, die Con- 

 stanten «2 • • «/• in allgemeinster Weise, ohne dass sie sämtlich Null 

 werden, so zu bestimmen, dass der Klammerausdruck 



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die Form annimmt: 



cX,f+Q{a,X,f-{-.. + a,Xrf), 

 in der c und q vorläufig noch unbekannte Constanten bedeuten. Dies 

 giebt, da X^f. . Xrf von einander unabhängig sind, die r Bedingungen: 



(1) 



^cikCui = c, ^cc],cnj == Qaj ( j ^ 2 . . r), 



von denen wir die r — 1 letzten ausführlich schreiben: 



(Cl22 — Q)cC^ + ^1320:3 + 1- Cirattr = 0, 



Cl23a2 +(Ci33 P)a3 + • • + ClrZdr = 0, 



(2) 



. Ci2rCi2 + Cis/tts + • • -{-{Cirr — Q)cCr = 0. 



Diese r — 1 Gleichungen sind linear und homogen in «^ . . a,. Hat 

 man aus ihnen «2 • • «/• bestimmt, so giebt die erste Gleichung (1) den 

 Wert von c, der für uns vorerst keine besondere Bedeutung hat. Es 

 kommt also darauf an, aus den y — 1 Gleichungen (2) a^ . . ccr so zu 

 bestimmen, dass sie nicht sämtlich Null werden*). Diese r —1 Glei- 

 chungen lassen sich aber nur dann erfüllen, wenn ihre Determinante 

 verschwindet: 



(3) 



D{q) = 



C122 — Q 

 C123 



Ci2r 



Cl32 



C133 — Q 



Cir2 



Clrr Q 



Die Gleichung I){q)=0 ist stets von (r — ly^^ Grade in q. Der 

 Leser wird sich erinnern, dass wir einer ähnlichen Determinante schon 

 öfters begegnet sind. Sie spielt ja überhaupt in vielen Teilen der 

 Mathematik eine wichtige Rolle. 



Die Gleichung D(q) = besitzt mindestens eine Wurzel q. Für 

 diese lassen sich die Gleichungen (2) durch niclit sämtlich verschwin- 



*) Die EntWickelungen des Textes finden sich schon in Lie's erster ausführ- 

 licher Arbeit über Transformationsgruppen, Archiv for Math. Bd. 1, S. 174 und 

 193, Christiania 1876. Viel weitergehende Sätze finden sich im dritten Bande 

 derselben Zeitschrift, Christiania 1878. 



