Zwei- und dreigliedrige Untergruppen gegebener Gr^ippen 553 



dende Werte von a^ . . ar erfüllen. Dass übrigens in (2) nur die Ver- 

 hältnisse der a eine Rolle spielen, ist von vornherein klar. Wir haben 

 also gefunden: 



Satz 1: Jede infinitesimale Transformation einer r-gliedrigen Gruppe Sns?iu 

 XJ..Xrf gehört mindestens einer zweigliedrigen Untergruppe an. ^l^^f^^ 



Begrifflich können wir diesen Satz auch so ableiten: Interpre- 

 tieren wir die infinitesimalen Transformationen SekXkf der Gruppe in 

 bekannter Weise als Punkte {e^:e^\ ••• : er) des Raumes Br-i der 

 adjungierten Gruppe EJ. . Erf mit den homogenen Coordiuaten e^..er, 

 so wird eine zweigliedrige Untergruppe durch eine Gerade dieses 

 Raumes dargestellt, die invariant bleibt bei denjenigen infinitesimalen 

 Transformationen Ze^Ekf der adjungierten Gruppe, deren Bildpunkte 

 (e^i- •: er) auf der Geraden liegen. Wenn wir aber E^^f ausführen, so 

 bleibt der XJ' darstellende Punkt in Ruhe, die oo'— ''^ Geraden durch 

 diesen Punkt Averden also vermöge E^^f unter sich vertauscht und 

 zwar, wie bei den Betrachtungen des § 4 des vorigen Kapitels ge- 

 nügend betont wurde, durch eine infinitesimale projectivc Transforma- 

 tion. Nach Theorem 34 desselben Paragraphen bleibt dabei wenigstens 

 eine Gerade in Ruhe*). Ist dies die Gerade, die den Bildpunkt von 

 X^f mit dem von 2;aiXi/" verbindet, so ist also nach Satz 3, § 3 des 

 18. Kap. der Klammerausdruck (X^, UcCkXk) aus XJ und ZakX^f 

 linear ableitbar, d. h. die Gerade stellt eine zweigliedrige Untergruppe 

 XJ, ZukXkf dar. 



Ehe wir in der allgemeinen Theorie fortfahren, wollen wir die 

 Bedeutung vielfacher Wurzeln q der Gleichung D{q) = für das vor- 

 liegende Problem an einem Beispiele erläutern, das uns schon von 

 früher her (aus § 3 des 18. Kap.) bekannt ist. 



*) Schon bei Lie's ersten Untersuchungen über Transformatiousgruppen war 

 die Auffassung der Schar von infinitesimalen Transformationen: 



einer r-gliedrigcn Gruppe als einer {r — l)fach ausgedehnten ebenen Mannigfaltig- 

 keit, die durch die adjungierte Gruppe transformiert wird, das zu Grunde liegende 

 Princip. In seinen älteren Publicationen im Archiv for Math. (1876-1879) tritt 

 diese Auffassung deutlich, wenn auch nicht viel hervor; in den Math. Ann. Bd. IG 

 ersetzte aber Lie diese begrifflichen Betrachtungen durch die entsprechenden 

 analytischen Rechnungen. In seinen verschiedenen Publicationen aus dem Jahre 

 188t (Archiv for Math, und Math. Ann., Bd. 25) lenkte er, sogar in energischen 

 Ausdrücken, die Aufmerksamkeit auf die zu Grunde liegenden begrifflichen Be- 

 trachtungen, die in seinen neueren Arbeiten unverhüllt in ihrer ursprünglichen 

 Gestalt hervortreten. 



