554 . Kapitel 20, § 1. 



Beispiel. Beispiel: Vorgelegt sei die Gruppe 



p q yq xp, 



deren infinitesimale Transformationen wir als Punkte eines gewöhn- 

 lichen Raumes B^ gedeutet haben. Wir bestimmten schon früher alle 

 zweigliedrigen Untergruppen, die wir in Fig. 48 durch Geraden mar- 

 kierten. Setzen wir etwa 



XJ = p + yq, 



suchen wir also alle zweigliedrigen Untergruppen, die p -\- yq ent- 

 halten, so haben wir 



so zu bestimmen, dass 



(Z1X2) = cXJ-\- qX.J^ c(p -f yq) + ^(a^q + a.^yq -f a^^xp) 

 wird. Es ist aber hier: 



(^1^2) = «4i^ — «2^ = «i(i> + yq) — «23' — cdyq, 



sodass zu fordern ist; 



«'i = ^' . 



(1 + Q)a2 = 0, 



?«3 + «1 = 0, 

 Qa^ = 0. 



Die erste Gleichung bestimmt nur c und kommt nicht in betracht. 

 Die drei letzten verlangen, dass 



1 -\- Q 



^ 1 =0 



Q 



sei. Q =^ — 1 ist einfache, q = ist Doppelwurzel. Doch für keine 

 der Wurzeln verschwinden auch die zweireihigen Unterdeterminanten 

 sämtlich. Daher bestimmen sich die Verhältnisse von a^, «3, «^ jedes- 

 mal vollständig. Für ^ = — 1 kommt a^ = 0, «3 = 0, also die Unter- 

 gruppe 



p-h yq q, 



für () = kommt «^ = 0, «4 == 0, also die Untergruppe 



p + yq yq- 



Diese Ergebnisse waren nach Fig. 48 vorauszusehen. 

 Benutzen wir ein anderes X-^f: 



Xif^yq, 

 so haben wir 



